Funksjonallikning

[Karl_Erik]

Finn alle funksjoner [tex]f : \mathbb {R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y)[/tex].

[Gustav]

Sett [tex]y=0[/tex].

Da blir [tex]f(x)-f(x)=0=f(0)f(x)[/tex].

To tilfeller:

i) [tex]f(x)=0[/tex] for alle x i R, triviell løsning
ii) [tex]f(0)=0[/tex] og minst én x er slik at [tex]f(x)\neq 0[/tex]

ii)

Sett [tex]x=0[/tex]:

[tex]f(y)-f(-y)=f(0)f(y)=0[/tex], så [tex]f(y)=f(-y)[/tex] for alle y i R.

Sett [tex]y=x[/tex]:

[tex]f(2x)=f^2(x)[/tex]

Sett [tex]y=-x[/tex]:

[tex]-f(2x)=-f^2(x)=f(x)f(-x)[/tex]. Minst én x=k er slik at [tex]f(k)\neq 0[/tex], så for denne k kan vi dele med f(k):

Da blir [tex]-f(k)=f(-k)[/tex] der [tex]f(k)\neq 0[/tex] og [tex]k\neq 0[/tex], som motsier at f er symmetrisk fra ligningen et par hakk over.

Så eneste løsning er [tex]f(x)=0[/tex]

[Karl_Erik]

Helt riktig.