Konstruksjon av sirkler

[espen180]

1. Konstruer to sirkler med radiusene [tex]\sqrt{2}[/tex] og [tex]\sqrt{6}[/tex] slik at de tangerer hverandre.
2. Konstruer en tredje sirkel som tangerer de to andre sirklene, slik at de tre sirklene kan innskrives i en sirkel med radius 4.



a) Hva er radiusen til den tredje sirkelen?

b) Utfør konstruksjonen og beskriv den stegvis.

[Knuta]

Forutsatt at jeg for oppgitt to punkter med avstand [tex]1[/tex]

1. Null problemer med å konstruere en sirkel med radius [tex]\sqrt{2}[/tex] og en tangerende sirkel med [tex]\sqrt{6}[/tex]

2. Null problem med å konstruere en tredje sirkel som tangerer de to andre.

a) Akkurat nå hopper jeg over svaret. Jeg vet svaret.

b) Kommer senere.


Spørsmål til punkt 2. Er det mulig å konstruere en sirkel med radius 4 slik at de andre blir innskrevet i denne? Jeg klarer det ikke. Jeg kan tegne den men ikke konstruere den.

[espen180]

Så vidt jeg vet det være mulig.

[Knuta]

Først vil jeg beskrive hvordan jeg finner lengder av linjestykker [tex]\sqrt{2}[/tex] og [tex]\sqrt{6}[/tex] dersom det er oppgitt 2 punkter med avstand 1. Konstruer en rettvinklet likesidet trekant med kateter som er [tex]1[/tex]. Trekk hypetenus, den er [tex]\sqrt{2}[/tex]. Konstruer så en rettvinklet trekant med kateter som er [tex]\sqrt{2}[/tex] og [tex]2[/tex]. Trekk hypotenus, den er [tex]\sqrt{6}[/tex].



Konstruksjonen

Tegn en linje. Tegn inn punkt A på den, Sett av punkt P1 som har en avstand [tex]\sqrt{2}[/tex] fra A. Konstruer en sirkel (rød) med senter i A og igjennom P1. Sett av et punkt B på linja med avstand [tex]\sqrt{6}[/tex] fra P1. Konstruer en sirkel (rød) med senter i B og gjennom P1.

Konstuer en sirkel (grønn) med radius [tex]\frac{3}{2}+\sqrt{2}[/tex] med senter i A. Konstuer en sirkel (grønn) med radius [tex]\frac{3}{2}+\sqrt{6}[/tex] med senter i B. Der sirklene krysser hverandre er punkt C.

Trekk en linje igjennom A og C og en linje igjennom B og C. Der de røde sirklene krysser disse linjene finner vi punktene P2 og P3.

Konstruer en sirkel (rød) igjennom P2 og P3 med senter i C. Nå har vi de tre sirklene (røde) som tangerer hverandre. Radiusen på den siste sirkelen er [tex]\frac{3}{2}[/tex]

Konstuer en sirkel (lilla) med radius [tex]4-\sqrt{2}[/tex] og senter i A. Konstuer en sirkel (lilla) med radius [tex]4-\sqrt{6}[/tex] og senter i B. Der disse sirklene krysser hverandre setter vi punkt S.

Konstruer en sirkel (blå) med senter i S og radius [tex]4[/tex]. De tre Røde sirklene er når innskrevet i den Blå.

[espen180]

Flott løsning.

Hvordan fant du frem til radiusen på en siste sirkelen?

[Knuta]

Det gjorde jeg vel aldri. Konstruksjonen av de to første sirklene var enkelt. Den siste sirkelen ble konstruert slik at den tangerte de to andre men jeg hadde muligheten for å variere radius. Den ytre sirkelen ble tegnet på avhengig av et punkt på hver av de andre sirklene. Så ble senter konstruert i senter av denne med en radiuslinje som ga meg verdiene på denne.

Ved å flytte og pirke på 4 punkter klarte jeg å tegne en løsning når den ytre sirkelen var på 4 og den tredje sirkelen var på 1.5 Slik ble løsningen. Å konstruere det var noe helt annet. Nå er det bare å dra en linje igjennom AS, BS og CS og bevise konstruksjonen. Jeg har foreløpig ikke bevist at den er korrekt.

[Knuta]

Har du svaret på denne?

Konstruksjonen jeg gjorde er ikke matematisk korrekt.
Avstanden CS har en differanse på ca. 0,06%
d.v.s. Den ene røde sirkelen med senter i C tangerer ikke den blå.
Diameteren er med andre ord lavere enn oppgitt 1.5

[espen180]

Jeg har desverre ikke fasitsvaret på denne. Du har ihvertfall metoden klar, så om vi finner radiusen kan vi konstruere figuren.

[Knuta]

Nå gir jeg opp og går å legger meg. Noen idèer?

Så lang kom jeg i tankegangen:


Sikkert en lur ligning med to ukjente.