Spørsmål om en første ordens inhomogen differensiallikning:
y' + 1/x y = e[sup]x[/sup][sup]2[/sup] x>0
Jeg skal finne den spesielle løsningen av likningen som tilfredsstiller initialbetingelsen y(1) = e
Har forsøkt meg som følger:
Jeg har da f(x) = 1/x og F(x) = lnx
e[sup]lnx[/sup]y' + e[sup]lnx[/sup]1/x y = e[sup]lnx[/sup]e[sup]x[/sup][sup]2[/sup]
e[sup]x[/sup][sup]2[/sup] = e i x i andre hvis det er tvil..
(e[sup]lnx[/sup]y)' = e[sup]lnx[/sup]e[sup]x[/sup][sup]2[/sup]
e[sup]lnx[/sup]= [symbol:integral] e[sup]lnx[/sup]e[sup]x2[/sup]dx + C
Bruker integrasjon ved substitusjon:
[symbol:integral] xe[sup]x2[/sup]dx =1/2 [symbol:integral] e[sup]x2[/sup]2xdx
= 1/2 [symbol:integral] e[sup]u[/sup]du = 1/2 e[sup]u[/sup] + C
= 1/2 e[sup]x2[/sup] + C
e[sup]lnx[/sup]y = 1/2 e[sup]x2[/sup] + C
y(x) = 1/x (1/2 e[sup]x2[/sup] + C)
Ved y(1) så får jeg 1/2e. Det blir jo feil.. Og er dette den "spesielle" løsningen? Håper på hjelp her!
differensiallikning
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Jeg får også [tex]C=\frac {e}{2}[/tex] Hvis det var det du prøvde å skrive 
Så den spesielle løsningen blir
[tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex]
Stemmer det med fasiten?

Så den spesielle løsningen blir
[tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex]
Stemmer det med fasiten?
Takk for svar! Hmm.. Så jeg skal på en måte finne ut hva C blir ja...
Og da ser jeg at den spesielle løsningen du kom fram til tilfredstiller initialbetingelsen y(1) = e. Har ingen fasit annet enn at det er oppgitt at y(1) = e.
Men da har jeg kanskje et mer elementært spm;
Har y(x) = e[sup]x2[/sup]/2x + C/x , og finner da at C må være e/2 for å få y(1) = e.
Da blir det y(x)= e[sup]x2[/sup]/2x + e/2/x
Hvordan rekner jeg meg fra det og fram til det svaret du kom med? Ikke helt stø på slik rekning...
Og da ser jeg at den spesielle løsningen du kom fram til tilfredstiller initialbetingelsen y(1) = e. Har ingen fasit annet enn at det er oppgitt at y(1) = e.
Men da har jeg kanskje et mer elementært spm;
Har y(x) = e[sup]x2[/sup]/2x + C/x , og finner da at C må være e/2 for å få y(1) = e.
Da blir det y(x)= e[sup]x2[/sup]/2x + e/2/x
Hvordan rekner jeg meg fra det og fram til det svaret du kom med? Ikke helt stø på slik rekning...
-
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Er ikke verre enn å utvide brøken med 2
[tex]\frac {\frac {e}{2} \cdot 2}{x\cdot 2}[/tex]
[tex]\frac {\frac {e}{\cancel {2}} \cdot \cancel {2}}{x\cdot 2}[/tex]
[tex]\frac {e}{2x}[/tex]
Og du står igjen med [tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex] Når du trekker sammen.
[tex]\frac {\frac {e}{2} \cdot 2}{x\cdot 2}[/tex]
[tex]\frac {\frac {e}{\cancel {2}} \cdot \cancel {2}}{x\cdot 2}[/tex]
[tex]\frac {e}{2x}[/tex]
Og du står igjen med [tex]y(x)=\frac {e^{x^2}+e}{2x}[/tex] Når du trekker sammen.
-
- Riemann
- Posts: 1686
- Joined: 07/09-2007 19:12
- Location: Trondheim
Bare for å vise det så kan man og gjøre [tex]\frac{\frac{e}{2}}{x}=\frac{e}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{e}{2x}[/tex]
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV