Dempet svingning (differensiallikninger)

[matte:o)]

Hvordan løser man denne oppgaven:
Et lodd med massen m=0,4 kg henger i en lang fjær med fjærkonstanten k=0,82 N/m og friksjonstallet q=0,24 Ns/m. Ved tidspunktet t=0 er loddet 0,1 m over likevektspunktet med farten 0,4 m/s.

Finn posisjonen y=f(t) etter t sekunder.


Jeg får svaret y=(e(-3x))(0,5 sin 1,4x + 0,1 cos 1,4x) , men det stemmer ikke med fasiten.

[Realist1]

Hva var oppgaven sa du?

[matte:o)]

der kom oppgaven også

[Genius-Boy]

Først stiller vi opp differensiallikningen og ordner den etter definisjonen av en dempet svingning, som er

[tex]my^{\tiny\prime\prime} + qy^{\tiny\prime} + ky =0[/tex]

der [tex]m[/tex] er massen til loddet, [tex]q[/tex] er friksjonstallet, [tex]k[/tex] er fjærkonstanten og [tex]y=0[/tex] er posisjonen i likevektsstillingen. Vi får

[tex]0,4y^{\tiny\prime\prime} + 0,24y^{\tiny\prime} + 0,82y = 0[/tex]

Etter multiplikasjon med [tex]\frac{5}{2}[/tex] eller divisjon på [tex]0,4[/tex], får vi

[tex]y^{\tiny\prime\prime} + 0,6y^{\tiny\prime} + 2,05y = 0[/tex] ---> [tex]r^{2}+{0,6}r+2,05=0[/tex]

[tex]r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex]

[tex]r=\frac{-0,6\pm\sqrt{0,6^{2}-4\cdot{1}\cdot{2,05}}}{2\cdot{1}}[/tex]

[tex]r=\frac{-0,6\pm\sqrt{-7,84}}{2}=\frac{-0,6\pm\sqrt{7,84}\cdot\sqrt{-1}}{2}[/tex]

[tex]r=\frac{-0,6}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{7,84}\cdot\sqrt{-1}=-0,3\pm1,4\sqrt{-1}[/tex]

Uttrykket [tex]r=p\pm{q}\sqrt{-1}[/tex] gir en generell differensiallikning på formen [tex]y=e^{px}\cdot(C\sin{qx}+D\cos{qx})[/tex] .

Og siden denne andregradslikningen ikke hadde noen løsning(er) og får et uttrykk av typen [tex]r=p\pm{q}\sqrt{-1}[/tex], har differensiallikningen den generelle løsningen

[tex]y=e^{-0,3t} \cdot (C\sin{1,4t}+D\cos{1,4t})[/tex]

Nå må konstantene [tex]C[/tex] og [tex]D[/tex] bestemmes.

Loddet er [tex]0,1m[/tex] over likevektspunktet ved [tex]t=0[/tex]. Vi regner [tex]y[/tex] positiv oppover fra likevektspunktet. Dermed er [tex]y=0,1[/tex]. Det gir

[tex]e^{-0,3\cdot{0}} \cdot (C\sin{1,4\cdot{0}}+D\cos{1,4\cdot{0}})=0,1[/tex]
[tex] C\sin{0}+D\cos{0}=0,1[/tex]
[tex] D=0,1[/tex]

I oppgaven er det også oppgitt at loddet har farten [tex]v=0,4m/s[/tex] ved [tex]t=0[/tex]. Husk at [tex]v = y^{\tiny\prime}[/tex]. Vi finner først [tex]y^{\tiny\prime}[/tex].

[tex]v=y^{\tiny\prime}=C \sin{1,4t} \cdot (1,4t)^{\tiny\prime}\ + 0,1 \cos {1,4t} \cdot (1,4t)^{\tiny\prime}[/tex]

[tex]=1,4C\cdot \cos {1,4t} - 0,14 \cdot\sin {1,4t}[/tex]

[tex]y^{\tiny\prime}=1,4C \cdot \cos {1,4t} - 0,14 \cdot \sin {1,4t}[/tex]

[tex]v=0,4m/s[/tex] ved [tex]t=0[/tex] gir

[tex]1,4C \cdot \cos{1,4\cdot{0}-0,14\cdot \sin{1,4\cdot {0}}=0,4[/tex]

[tex]1,4C -0=0,4[/tex]

[tex]1,4C=0,4[/tex]

[tex]C=\frac{0,4}{1,4}\approx{0,29}[/tex]

Uttrykket for posisjonen [tex]y=f(t)[/tex] etter [tex]t[/tex] sekunder er dermed

[tex] \underline{\underline{y=e^{-0,3t} \cdot (0,29\cdot\sin{1,4t} + 0,1\cdot\cos{1,4t})}[/tex]

Ja, jeg vet at [tex]0,29[/tex] avviker litt fra fasitens [tex]0,31[/tex], men det skyldes at fasiten har rundet av feil.

Det ble et meget langt svar, men det var fordi jeg tok med en god del mellomregning (som du kan droppe å ta med!), slik at andre på dette forumet også kan ta nytte av det. I tillegg er jeg heller ikke så veldig god på Latex-koding, og det var grunnen til at jeg blandet mellom Latex og vanlig tekst.

Mvh

Genius-Boy

[Markonan]

Regner med du fikk litt tull med apostrofen, altså ' i LaTeX?

[tex]y^{\tiny\prime}[/tex]
[tex]y^{\tiny\prime\prime}[/tex]

[tex]y^,[/tex]
[tex]y^{,,}[/tex]

[Genius-Boy]

Regner med du fikk litt tull med apostrofen, altså ' i LaTeX?

[tex]y^{\tiny\prime}[/tex]
[tex]y^{\tiny\prime\prime}[/tex]

[tex]y^,[/tex]
[tex]y^{,,}[/tex]

Riktig, visste ikke hvordan jeg skulle skrive apostrofen i LaTeX.
Fikk bare vanlig [tex]y[/tex] når jeg skrev '. Men nå vet jeg i hvert fall det, og kan like godt redigere posten for å få litt mer orden i sakene!
Takker for koden!