Algebra

[Gustav]

Uttrykk

[tex]F=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1+2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}}[/tex] med rasjonal nevner.

[meCarnival]

Synes den kan være litt vrien å starte på ja...

[FredrikM]

[tex]F=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1+2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac13}}{1+2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}[/tex]

Dette er en geometrisk rekke. Sumformelen er
[tex]S_n=\frac{a(1-x^{n+1})}{1-x}[/tex].

Altså er
[tex]F=\frac{2^{\frac13}}{2^3-1}[/tex]

Edit: 2 sec. Så en feil.

[meCarnival]

Okei.. Da tror jeg det blir litt anderledes.. Siden overskrift var Algebra og ikke rekker så tenkte jeg ikke slik.. Derfor tenkte jeg at jeg skulle få alt under felles rottegn i nevner og prøve å komme videre derfra og gjøre det algebraisk... Men klarte det ikke så tenkte da det var noe muffinz...

[FredrikM]

Som nevnt i edit-delen av posten min, gjorde jeg litt stygg feil. Rettelse:

Etter sumformelen har vi (setter [tex]x=2^{\frac13}[/tex]).

Dermed har vi for nevneren:
[tex]1+2^{\frac 13}+2^{\frac23}=\frac{1-(2^{\frac 13})^3}{1-2^{\frac 13}=\frac{-1}{1-2^{\frac13}}[/tex]

Setter inn i F:

[tex]F=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1+2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac 13}}{\frac{-1}{1-2^{\frac13}}}[/tex]
Altså
[tex]F=\frac{2^{\frac 13}(2^{\frac 13}-1)}{-1}[/tex]

[Gustav]

Veldig bra Fredrik! En ørliten fortegnsfeil i siste linja, ellers helt rett

[Gustav]

Okei.. Da tror jeg det blir litt anderledes.. Siden overskrift var Algebra og ikke rekker så tenkte jeg ikke slik.. Derfor tenkte jeg at jeg skulle få alt under felles rottegn i nevner og prøve å komme videre derfra og gjøre det algebraisk... Men klarte det ikke så tenkte da det var noe muffinz...

Man kan løse oppgaven på minst tre måter hvorav de to andre ikke involverer rekker, så det går innenfor (rekkeløs?) algebra.

[meCarnival]

Jaok... Hvordan foregår de to andre da?

[Emilga]

[tex]F=\frac{\left(\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1+2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}}\right)}{1}[/tex]

[Gustav]

[tex]F=\frac{\left(\frac{2^{\frac{1}{3}}}{1+2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}}\right)}{1}[/tex]

Hehe.

Skulle vel understreket at nevneren må være ulik 1.

[meCarnival]

Synes den var litt vel enkel... Føler vi må ba noe beregning for å bevise det...

[Karl_Erik]

Jaok... Hvordan foregår de to andre da?

Om du vet at [tex]x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y + x^{n-3}y^2 ... + y^{n-1})[/tex] og legger merke til at nevneren tilsvarer [tex]1+2^{\frac 1 3} + ( {2^{\frac 1 3}} )^2[/tex] er det lett å se at å utvide brøken med [tex]1-2^{\frac 1 3}[/tex] gjør ting penere.