Kortstokk
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ser først på tilfellet hvor du får utdelt kortene i stigende rekkefølge, ess til konge. Først har du [tex]\frac{4}{52}[/tex] sannynlighet for å få en ess, så har du [tex]\frac{4}{51}[/tex] sannsynlighet for å få en toer. Dette mønsteret fortsetter og du ender opp med [tex]\frac{4^{13}}{ _{52}P_{13}}[/tex].Spn skrev:3 kamerater og jeg spilte kortspillet president for noen dager siden. I dette spillet deler man ut alle kortene, slik at hver person får 13 kort hver. Hva er da sjansen for at en av oss får ett av hvert kort, dvs ess til konge?
Dette er sannsynligheten for at du får utdelt forskjellige kort i stigende rekkefølge. Men det finnes 13! måter å arrangere disse kortene på og den endelige sannsynligheten for å få utdelt et av hvert kort blir:
[tex]\frac{4^{13}}{ _{52}P_{13}}13!\approx0.0106\percent[/tex].
Hmm.. Blir det virkelig så enkelt? Her må man også tenke på at ingen av de adnre spillerne kan få et av de kortene, og at man kan få disse 13 kortene på 4 forskjellige måter. Tilogmed 2 kan få de 
Skal vurdere å regne på det imorgen, vm i sent nå..
Skal vurdere å regne på det imorgen, vm i sent nå..Det stemmer det, hadde helt glemt dette.Candela skrev:Hmm.. Blir det virkelig så enkelt? Her må man også tenke på at ingen av de adnre spillerne kan få et av de kortene, og at man kan få disse 13 kortene på 4 forskjellige måter. Tilogmed 2 kan få de
Sannsynligheten for at nøyaktig du får en av hver kortverdi er som jeg tidligere har skrevet [tex]\frac{4^{13}}{_{52}P_{13}}13![/tex]
Skal det gjelde nøyaktig én av fire så må denne sannsynligeten multipliseres med 4.
Dersom en skal bestemme sannsynligheten for at minst én får en av hver verdi så begynner jeg å slite litt. Da blir det jo en salig blanding av ubetinget og betinget sannsynlighet.
Håper Solar Plexus snart kommer tilbake fra "ferie".
Edit: Leste feil i første post. Dette er sannsynligheten for at alle spillere ender opp med en hånd som går fra ess til konge.
Siden sannsynligheten er uavhengig av i hvilken rekkefølge kortene er utdelt, starter vi med å telle antall muligheter for å sette sammen en gunstig hånd, en hånd med ønsket kombinasjon, systematisk for alle spillere fra spiller 1.
Spiller 1 starter med en potensiell gunstig stokk på 52 kort. Når et kort er trukket, er 4 kort blitt ugunstige for hans del. (La oss si at første kort han trekker er en knekt. Det er nå 3 ugunstige knekt i stokken.)
Totalt antall muligheter for spiller 1 å lage seg sin hånd: [tex]52 \cdot 48 \cdot ... \cdot 4[/tex]
Vi forstetter med samme argument:
Totalt antall muligheter for spiller 2 å lage seg sin hånd: [tex]39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3[/tex]
Totalt antall muligheter for spiller 3 å lage seg sin hånd: [tex]26 \cdot 24 \cdot ... \cdot 4[/tex]
Totalt antall muligheter for spiller 3 å lage seg sin hånd: [tex]13 \cdot 12 \cdot ... \cdot 1[/tex]
Totalt antall mulige måter å dele ut kortene: [tex]52![/tex]
Dermed er sannsynligheten for at alle spillere har ett kort hver av verdiene ess til konge:
[tex]P = \frac{(39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3)(39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3)(26 \cdot 24 \cdot ... \cdot 4)13!}{52!} = \frac{63403380965376}{3880551053637788833856875} \approx 1.63388 \cdot 10^{-11}[/tex]
Vi kan også argumentere for resultatet på en annen måte:
La oss kalle et kort gunstig dersom det oppfyller kriteriet at det kan gi spilleren en hånd med alle kort fra ess til konge. Alle kort er delt ut. Vi teller nå sannsynligheten for at hver spiller har en gunstig hånd.
Dersom vi starter med første spiller, vil sannsynligheten for at første kort er gunstig naturligvis være [tex]\frac{52}{52}[/tex]. Neste kort, derimot, må være av en annen verdi, og ved å trekke første kort, har vi fjernet 4 gunstige kort for spiller 1. (La oss si at første kort var en knekt - da vil de 3 andre knektene i stokken være ugunstige.) Sannsynligheten for et nytt, gunstig kort er [tex]\frac{48}{51}[/tex], og ved å fortsette tankegangen for de neste 11 kortene, kan vi slutte at sannsynligheten for at alle kortene til spiller 1 er gunstige må være:
[tex] \prod _{n=0} ^{12} \frac{52-4n}{52-n} [/tex]
For spiller 2 blir sannsynligheten for at første kort nå er gunstig naturligvis [tex]\frac{39}{39}[/tex]. Siden første spiller har lagt beslag på ett kort av hver verdi, vil vi nå fjerne tre gunstige kort per trekk. (La oss si spiller 2s første kort er en knekt. Da er det nå 2 knekter igjen i stokken, begge ugunstige.) Sannsynligheten for at spiller 2s kort er gunstige blir:
[tex]\prod _{n = 0} ^{12} \frac{39 - 3n}{39 - n}[/tex]
Fortsetter vi tankegangen for alle spillerne, blir den totale sannsynligheten:
[tex]P = \prod _{n = 0} ^{12} \frac{52 - 4n}{52 - n} \ \prod _{n = 0} ^{12} \frac{39 - 3n}{39 - n} \ \prod _{n = 0} ^{12} \frac{26 - 2n}{26 - n} \ \left( \prod _{n = 0} ^{12} \frac{13 - n}{13 - n} \right)[/tex]
Hvis vi evaluerer dette, gir det oss:
[tex]P = \frac{63403380965376}{3880551053637788833856875} \approx 1.63388 \cdot 10^{-11}[/tex]
Siden sannsynligheten er uavhengig av i hvilken rekkefølge kortene er utdelt, starter vi med å telle antall muligheter for å sette sammen en gunstig hånd, en hånd med ønsket kombinasjon, systematisk for alle spillere fra spiller 1.
Spiller 1 starter med en potensiell gunstig stokk på 52 kort. Når et kort er trukket, er 4 kort blitt ugunstige for hans del. (La oss si at første kort han trekker er en knekt. Det er nå 3 ugunstige knekt i stokken.)
Totalt antall muligheter for spiller 1 å lage seg sin hånd: [tex]52 \cdot 48 \cdot ... \cdot 4[/tex]
Vi forstetter med samme argument:
Totalt antall muligheter for spiller 2 å lage seg sin hånd: [tex]39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3[/tex]
Totalt antall muligheter for spiller 3 å lage seg sin hånd: [tex]26 \cdot 24 \cdot ... \cdot 4[/tex]
Totalt antall muligheter for spiller 3 å lage seg sin hånd: [tex]13 \cdot 12 \cdot ... \cdot 1[/tex]
Totalt antall mulige måter å dele ut kortene: [tex]52![/tex]
Dermed er sannsynligheten for at alle spillere har ett kort hver av verdiene ess til konge:
[tex]P = \frac{(39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3)(39 \cdot 36 \cdot ... \cdot 3)(26 \cdot 24 \cdot ... \cdot 4)13!}{52!} = \frac{63403380965376}{3880551053637788833856875} \approx 1.63388 \cdot 10^{-11}[/tex]
Vi kan også argumentere for resultatet på en annen måte:
La oss kalle et kort gunstig dersom det oppfyller kriteriet at det kan gi spilleren en hånd med alle kort fra ess til konge. Alle kort er delt ut. Vi teller nå sannsynligheten for at hver spiller har en gunstig hånd.
Dersom vi starter med første spiller, vil sannsynligheten for at første kort er gunstig naturligvis være [tex]\frac{52}{52}[/tex]. Neste kort, derimot, må være av en annen verdi, og ved å trekke første kort, har vi fjernet 4 gunstige kort for spiller 1. (La oss si at første kort var en knekt - da vil de 3 andre knektene i stokken være ugunstige.) Sannsynligheten for et nytt, gunstig kort er [tex]\frac{48}{51}[/tex], og ved å fortsette tankegangen for de neste 11 kortene, kan vi slutte at sannsynligheten for at alle kortene til spiller 1 er gunstige må være:
[tex] \prod _{n=0} ^{12} \frac{52-4n}{52-n} [/tex]
For spiller 2 blir sannsynligheten for at første kort nå er gunstig naturligvis [tex]\frac{39}{39}[/tex]. Siden første spiller har lagt beslag på ett kort av hver verdi, vil vi nå fjerne tre gunstige kort per trekk. (La oss si spiller 2s første kort er en knekt. Da er det nå 2 knekter igjen i stokken, begge ugunstige.) Sannsynligheten for at spiller 2s kort er gunstige blir:
[tex]\prod _{n = 0} ^{12} \frac{39 - 3n}{39 - n}[/tex]
Fortsetter vi tankegangen for alle spillerne, blir den totale sannsynligheten:
[tex]P = \prod _{n = 0} ^{12} \frac{52 - 4n}{52 - n} \ \prod _{n = 0} ^{12} \frac{39 - 3n}{39 - n} \ \prod _{n = 0} ^{12} \frac{26 - 2n}{26 - n} \ \left( \prod _{n = 0} ^{12} \frac{13 - n}{13 - n} \right)[/tex]
Hvis vi evaluerer dette, gir det oss:
[tex]P = \frac{63403380965376}{3880551053637788833856875} \approx 1.63388 \cdot 10^{-11}[/tex]