x^x = a

[Gjest]

Hei, falt akkurat inn i dette forumet, og tenkte jeg måtte melde meg inn.
Er nå akkurat ferdig med 1MX i GK videregående, men har lest litt ekstra på wikipedia om derivasjon med lim-definisjonen, og litt om kvadratrotalgoritmen (det finnes vel mange kvadratrotalgoritmer tipper jeg, men de går jo stort sett ut på det samme)

Jeg har stusset litt på et lite problem jeg har kommet frem til.
Sett at vi har en ligning på formen a^b = c. Hvis vi kjenner a og c, kan vi bruke logaritmer, og hvis vi kjenner b og c kan vi bruke rot m/evt. +-, og hvis vi kjenner a og b kan vi jo bare regne ut potensen. Men hva hvis vi kun kjenner c, og vet at a = b?

For eksempel, x^x = 27. Da er x = 3, fordi 3^3 = 27. (Aner ikke om det evt. finnes flere negative løsninger, men antar at x > 0)

For oss som har lest Haikerens guide til galaksen, så er jo 42 et viktig tall, der for bruker jeg det som et mer komplekst eksempel:

x^x = 42

Med en hjemmesnekret, endret versjon av algoritmen for å finne kvadratrot:
-------------------------------------
X^X = A

m = n-1
Xn = (Xm + A^(1/Xm) ) / 2
-------------------------------------

Tipper og setter da X0 = 3
X1 = 3,2380133
X2 = 3,2049230
X3 = 3,2073939
X4 = 3,2071863
X5 = 3,2072033
X6 = 3,2072019
X7 = 3,2072020
X8 = 3,2072020

Og med tilfredsstillende nøyaktighet har jeg funnet at
X [symbol:tilnaermet] 3,207202.

Men finnes det ingen enklere måte å løse ligningen på?

[Magnus]

Fint numerisk arbeid du har gjort der. Jo, det gjør det. Ta en titt på dette:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function

edit: av en merkelig grunn så fungerer ikke URL ?