Sannsynlighetsregning

[SEJOHNSE@YAHOO.NO]

På en arbeidsplass med 33 ansatte skal det trekkes 3 vinnere av adventsgaver hver dag fram til jul, tilsammen 72 gaver.

Alle 33 kan trekkes hver enkelt trekking (tilbakelegging).

Flere kommer selvsagt til å vinne mange premier, men er det mulig å beregne sannsynligheten for at alle vinner minst en gang?

Torstein

[Mattebruker]

Trekningane går over 24 dagar.

La A vere ein tilfeldig tilsett.

P ( A får ingen gevinst på 1. trekning ) = [tex]\frac{\binom{1}{0}\cdot \binom{32}{3}}{\binom{33}{3}}[/tex] = 0.909091

P( A feilar på alle trekningane ) = 0.909091[tex]^{24}[/tex] = 0.1015258417 ( produktsetninga for uavhengige hendingar )

P( A får gevinst på minst ei av trekningane ) = 1 - 0.101526 = 89.8 % ( komplementære hendingar )

P( alle tilsette får gevinst på minst ei av trekningane ) = 0.898[tex]^{33}[/tex] = 2.9 %

[jos]

Jeg lurer på noen sider ved Mattebrukers løsningsforslag. Oppgaveteksten snakker om trekning med tilbakelegging: "Alle 33 kan trekkes ( ved) hver enkelt trekking (tilbakelegging)". Men den foreslåtte løsningsmodellen til Mattebruker opererer med 3 ulike vinnere for hver dagstrekning, altså trekning uten tilbakelegging.
Slik jeg forstår oppgaveteksten, er det snakk om 72 uavhengige trekninger, én for hver av de 72 gavene. Sannsynligheten for å vinne i én trekning $ = \frac{1}{33}$. Sannsynligheten for ikke å vinne: $\frac{32}{33}$. Sannsynligheten for ikke å vinne i noen av de 72 trekningene $ =( \frac{32}{33})^{72}$. Sannsynligheten for å vinne minst en gang $= 1 - ( \frac{32}{33})^{72} = 0.8909$. Dette er litt lavere enn mattebrukers estimat da det er større sannsynlighet for å vinne i dagstrekningene hvis disse skjer uten tilbakelegning.
Dette gjelder likt for alle ansatte. Men jeg stusser litt over Mattebrukers anvendelse av sannsynligheten for at en ansatt vinner minst én gang i lotteriet for å besvare oppgavens siste spørsmål: "er det mulig å beregne sannsynligheten for at alle vinner minst en gang?" Det betyr at den 72 elementlange rekken av vinnere skal inneholde alle de ansatte, og siden det er flere loddtrekninger enn ansatte, vil noen ansatte, kanskje alle, være representert mer enn én gang. La oss forenkle ved å anta at det bare finner sted 33 loddtrekninger. Hvis alle ansatte skal vinne minst én gang, må lotteriserien inneholde alle ansatte. Vi får $33! = 0.68*10^{36}$ slike lotteriserier hvor alle de ansatte har vunnet, men bare én gang.
Vi finner sannsynligheten for en slik serie ved å dele antallet slike serier på antall mulige serier som er $33^{33}:$
$\frac{0.68* 10^{36}}{33^{33}} = 6.73*10^{-14}$. Ut fra Mattebrukers metode ville sannsynligheten bli
$1 - (\frac{32}{33})^{33} = 0.6378$. En temmelig stor forskjell så sant jeg har regnet riktig.

[Mattebruker]

Hallo !
Har tolka problemet annleis enn Jos I mine berekningar har eg lagt til grunn at kvar dag fram til jul blir det gjort ei ( 1 ) trekning, og i kvar trekning
blir det delt ut tre gevinstar - fordelt heilt tilfeldig på tre ulike medarbeidarar. Heile arbeidsstyrken ( 33 ) er med i kvar trekning ( kvar dag ).
Inviterer her med utanforståande å kome med innspel - gjerne ein moderator for dette forumet.

[Gustav]

La $x_i$ være antall gaver til ansatt $i$. Da er $x_1+x_2+...+x_{33}=72$. Antall (gunstige) måter å fordele gavene på de 72 ansatte slik at hver ansatt får minst én gave er ekvivalent med antall måter å skrive 72 som en sum av positive heltall, som er gitt av binomialkoeffisienten $71\choose 32$. Det totale antallet måter å fordele gavene på er ekvivalent med antall måter å skrive 72 som en sum av ikkenegative heltall, som er gitt av ${104\choose 72}$

Sannsynligheten for at alle får minst én gave blir dermed $\frac{71\choose 32}{104\choose 72}\approx 2.48\cdot 10^{-7}$.

Kilde: https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and ... inatorics)

EDIT: Dette svaret var åpenbart ikke riktig ved nærmere ettertanke

[Mattebruker]

Takk for innspel !
Løysinga di Gustav verkar overtydane ut frå den kjelda du viser til. Dette "verktøyet" ligg openbart langt utanfor vgs - pensum.

[Gustav]

Oppfølger: Bekreft eller avkreft løsningsforslagene over gjennom å simulere situasjonen i Python(eller valgfritt språk)

[Aleks855]

Oppfølger: Bekreft eller avkreft løsningsforslagene over gjennom å simulere situasjonen i Python(eller valgfritt språk)

Jeg gjorde dette i går kveld faktisk, men jeg strevde med å få det til å gå opp med ditt resultat.

Jeg lot meg overbevise om at du har rett, og jeg likte spesielt metoden med å betrakte gaveutdelinga som $$P = \frac{\text{antall partisjoner av gavemengden}}{\text{antall partisjoner av gavemengden gitt at tomme partisjoner er tillatt}}$$

Min simulasjon ender opp med at $P \approx 1\%$.

Kode: Velg alt

import random


successes = 0
trials = 1_000_000
for _ in range(trials):
    winners = set()
    for _ in range(72):
        winner = random.randint(0, 32)
        winners.add(winner)

    if len(winners) == 33:
        successes += 1

print(successes / trials)

I korte trekk; kjører en million simuleringer av 72 trekninger fra en "krukke" på 33. Dersom det fantes 33 vinnere på slutten av en simulering, så regnes det som en suksess.

Men resultatet er annerledes enn ditt analytiske resultat, så det er noe som ikke stemmer.

[Gustav]

Interessant. Skal ikke si at min løsning er korrekt. Har følelsen av at noe ikke stemmer helt i resonnementet mitt, uten at jeg klarer å pinpointe hva som er feil. Litt rusten i sannsynlighet her

God jul!

[SEJOHNSE@YAHOO.NO]

Hei, jeg er trådstarter, så artig at dette skaper så mange engasjerte svar , selv om de sprikte mye.

Min matematikkinteresse som fortsatt er høy stammer fra et grunnfag matematikk i 1980. Gledelig nok tror mine barn at jeg kan svare på alle mulige matte-spørsmål og spør meg stadig om noe, nå også om trekning av adventsgaver.

Jeg jobber ikke med matematikk til daglig og de svarene jeg har fått klarer jeg ikke å ta stilling til hvilke som er riktige ut i fra forklaringen. Men min intuisjon sier meg at det virker usannsynlig at man må trekke over en million ganger før alle 33 deltakerne vinner en av 72 premier.

Det er sikkert nokså umatematisk, men jeg har gøy av å la Excel «simulere» slike problemer.

Nå har jeg latt Excel utføre 1085 trekninger (dvs generere 72 tilfeldige tall mellom 1 og 33) og i 22 av disse 1085 «trekningene» blir alle tallene fra 1 til 33 trukket, dvs alle vinner.
Dette rimer jo godt med beregningen til Mattebruker, ser nå at en til (Aleks855) har gjort samme type simulering og kommet fram til et annet "estimat" - suksessrate på rundt 1% med en million trekninger

Som sagt, jeg klarer ikke argumentere rent matematisk, men kan det tenkes at mattebruker har den riktige «utregningen»?

[Aleks855]

Sannsynligheten for at alle får minst én gave blir dermed $\frac{71\choose 32}{104\choose 72}\approx 2.48\cdot 10^{-7}$.

Kilde: https://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and ... inatorics)

En feil her er i "stars and bars"-koeffisienten. Den burde være ${104 \choose 32}$.

Men vi får fremdeles en sannsynlighet på størrelsesorden $\frac{10^{20}}{10^{26}}$ så vi er ikke helt i mål enda heller.

[Mattebruker]

Hallo ! Interessant å registrere at der er fleire tilnærmingar til dette problemet. For å få ein fruktbar diskusjon , er det viktig å vite kva forfattaren har tenkt då han laga
oppgåva. I oppgaveteksten står det at bedrifta deler ut 72 gevinstar som fordeler seg jamt over 24 dagar, altså tre gevinstar kvar dag. Her er det freistande å trekke samanlikning til Lotto-trekninga vi ser på TV-skjermen kvar laurdagskveld. Ser føre meg at der ligg 33 ping-pong-ballar i "kurven". Kulene er merka med ein ID-kode ( 1, 2 , ................, 32, 33) og denne tener som "personnummer" for ein bestemt arbeidar. Så er spørsmålet: Kva meinest med ei ( 1 ) trekning ? I oppgaveteksten står det "svart på kvitt" at ein skal trekkje ut tre ( 3 ) vinnarar. Då gir det ikkje meining, slik eg tolkar oppgåva , å trekkje ut ei kule om gongen og deretter legge den tilbake i "kurven". I så fall risikerer ein at same person stikk av med meir enn ein gevinst same dag. Difor finst det berre ei rimeleg tolking av formuleringa " ei trekning": Lotto-maskinen som vi ser på TV-skjermen slepper ut tre kuler med ID-kodar som plukkar ut dei heldige vinnarane. Same prosedyren gjentakast neste dag, o.s.v. ....
Høyrest dette fornuftig ut , eller er eg fullstendig på villspor ?

[Aleks855]

Alle 33 kan trekkes hver enkelt trekking (tilbakelegging).

Jeg leser dette som at det gjøres 72 enkelttrekninger til sammen, men tre om dagen. Og at det gjøres tilbakelegging mellom hver enkelt trekning.

For simulasjonen sin del, så er det ikke vanskelig å gjøre justeringer dersom vi finner ut at én person IKKE skal kunne trekkes flere ganger samme dag, og at tilbakeleggingen først skjer etter alle tre trekninger har blitt gjort hver dag.

[Mattebruker]

Takk for tilbakemelding ! Ser ikkje heilt poenget med å trekkje ut ei og ei kule med tilbakelegging , og så fordele denne prosedyren over 24 dagar. Men her er det
openbart to ulike tolkingar som står mot kvarandre. For å avgjere dette "tvistemålet", må oppgaveforfattaren gi seg til kjenne og fortelje brukarane kva han har tenkt.

[SEJOHNSE@YAHOO.NO]

Jeg er oppgaveforftter og jeg ser at oppgaven kan forståes på begge måter. Meningen var å trekke 72 vinnere på en gang og etter hver enkelt trekking legge «kula eller lappen» tilbake i «hatten»