Finne funksjonsuttrykk

[Malie2321]

Hei! Står fast, og skulle gjerne hatt hjelp med denne oppgaven også.

Oppgaven viser en graf som har et bunnpunkt på (3,1), maksimalpunkt på x=1.Grafen skjærer y-aksen på 1.
Finn funksjonsuttrykket.

Jeg velger å bruke ax^3+bx^2+cx+d.
Jeg ser allerede at d må være 1.
Videre at:
1. f’(3)=0
2. f’(1)=0
3. f(1)=3

Hvordan går man frem med denne? Kan noen løse hele manuelt (altså uten bruk av CAS), og skrive hva de gjør? Løsningen skal være a=1/3, b=-2, c=3 og d=1.

[Mattebruker]

Hallo !
Viser til eit liknande problem som du posta for to dagar sidan ( 05.09.23 ). Her fekk du grundig og god forklaring av Josi som er aktiv på dette forumet.
Vil foreslå at du går gjennom dette rekneeksemplet på nytt. Prøv så å løyse same problemet på eiga hand. På den måten kan du bli fortruleg med framgangsmåten som også kan anvendast på herverande problem.

Lukke til !

[Malie2321]

Hei. Har selvfølgelig forsøkt på egenhånd i timesvis, pinlig nok nesten hele gårdagen, da jeg ikke gir opp før jeg virkelig gir opp. Må være noe grunnleggende jeg ikke ser, og ber derfor om hjelp. Virker som om hovedproblemet mitt er å finne a, da jeg allerede har regnet meg til at b må være lik -6a.

[jos]

Dette kan kanskje hjelpe: Hvis f(x) har bunnpunkt (3,1), vil vi ha at f(3) = 1 og ikke f(1) = 3, som du skriver.

[Malie2321]

Dette kan kanskje hjelpe: Hvis f(x) har bunnpunkt (3,1), vil vi ha at f(3) = 1 og ikke f(1) = 3, som du skriver.

Ups, stemmer. En miss når jeg skrev det. Kan du bekrefte eller ikke om dette er riktig fremgangsmåte?

Jeg regner ut de tre følgende
1. f(3)=27a+9b+3c+d=1
2. f’(3)=27a+6b+c=0
3. f’(1)=3a+2a+c=0

Trekker f’(1) fra f’(3) som gir 24a+4b. Dette igjen gir b=-6a.

Videre trekker jeg 24a+4b fra f(3)=1. Dette gir 3a i første ledd. Deler 3a på 3, og må derfor gjøre det med 1. a=1/3. Er dette riktig måte å finne a på? Jeg skal ikke tenke på å trekke 4b fra 9b?

Siden a=1/3, kan jeg ta b=-6*(1/3) som blir -2.

Fra f(3)=1-ligningen regner jeg ut 27*1/3+9*(-2)+c3=1-1=0 (-1 stammer fra d=1 flyttet over på andre siden av likhetstegnet. Dette gir 3c/3=9/3 som blir 3. d vet vi er 1. Plugger variablene inn i ax^3+bx^2+cx+d og får det riktige svaret.

Er redd jeg overser noen viktige matteregler, og har fått svaret til å bli det samme som i fasiten «kun fordi jeg vet svaret», om det gir mening. Er helt svett av denne oppgaven nå, har holdt på med den ALT for lenge..

[jos]

Jeg tror det stadig vekk er problemer med din avskrift av oppgaven, eller oppgaven selv. Vi har, som du selv kommer frem til, følgende likningsett:

(1) : 27 a + 9b + 3c = 0
(2): 27a + 6b + c = 0
(3): 3a + 2b + c = 0

Vi trekker (3) fra (2) og får b = -6a. Ved å sette inn for b i (3) får vi 3a -12a + c = 0 => c = 9a.

Så setter vi inn for b og c i (1): 27a + 9*(-6a) + 3*9a = 27a -54a + 27a = 0
Vi setter a utenfor og trekker sammen a(27 - 54 + 27) = 0 => a*0 = 0
Her ser vi at venstresiden i likningen = høyresiden uansett hvilken verdi a har. Dette skyldes den bestemte tallstrukturen til koeffisientene til a, b og c i likingssettet da rekkene av tallene, [27,9,3], [27,6,1] og [3,2,1], vurdert som vektorer, er såkalt lineært avhengige. Dette er stoff utenfor pensum I VGS. Men konsekvensen er at a, b og c ikke blir entydig bestemt, siden f.eks a kan anta en hvilken som helst verdi, ikke bare a = $\frac{1}{3}\,$ Så sjekk oppgaveteksten en gang til.

[Malie2321]

Jeg tror det stadig vekk er problemer med din avskrift av oppgaven, eller oppgaven selv. Vi har, som du selv kommer frem til, følgende likningsett:

(1) : 27 a + 9b + 3c = 0
(2): 27a + 6b + c = 0
(3): 3a + 2b + c = 0

Vi trekker (3) fra (2) og får b = -6a. Ved å sette inn for b i (3) får vi 3a -12a + c = 0 => c = 9a.

Så setter vi inn for b og c i (1): 27a + 9*(-6a) + 3*9a = 27a -54a + 27a = 0
Vi setter a utenfor og trekker sammen a(27 - 54 + 27) = 0 => a*0 = 0
Her ser vi at venstresiden i likningen = høyresiden uansett hvilken verdi a har. Dette skyldes den bestemte tallstrukturen til koeffisientene til a, b og c i likingssettet da rekkene av tallene, [27,9,3], [27,6,1] og [3,2,1], vurdert som vektorer, er såkalt lineært avhengige. Dette er stoff utenfor pensum I VGS. Men konsekvensen er at a, b og c ikke blir entydig bestemt, siden f.eks a kan anta en hvilken som helst verdi, ikke bare a = $\frac{1}{3}\,$ Så sjekk oppgaveteksten en gang til.

Enig.. Det er nok utregningen min med ligninger, og hvilke steg jeg skal ta først i utregningen min som er problemet. Jeg er nå på en ny oppgave hvor jeg sliter med akkurat det samme, å finne funksjonsuttrykket hvor noen få punkter er opplyst om.

I oppgaven skal jeg finne funksjonsuttrykket for en tredjegradsfunksjon med et terrassepunkt på (3,4) og hvor grafen krysser y-aksen i y=-5.
Velger å igjen ta utgangspunkt i ax^3+bx^2+cx+d

Med én gang kommer jeg frem til at
1. f(3)=4
2. f’(3)=0
Og f(0)=-5 (såklart fordi y (og derfor d)=-5).

Herifra trekker jeg f’(3) fra f(3), som blir a+3b+2c=9.

Herifra står jeg bom fast igjen. Skjønner ikke hvordan (ifølge fasit) at a=1/3, b=-3 og c=9. Hvordan går jeg egentlig frem?

[Mattebruker]

Hint: Punktet ( 3 , 4 ) er eit terassepunkt [tex]\Rightarrow[/tex] f'( 3 ) = f''( 3 ) = 0 ( eit terassepunkt er eit vendepunkt på grafen der vendetangenten går parallelt med x-aksen )

[Malie2321]

Hint: Punktet ( 3 , 4 ) er eit terassepunkt [tex]\Rightarrow[/tex] f'( 3 ) = f''( 3 ) = 0 ( eit terassepunkt er eit vendepunkt på grafen der vendetangenten går parallelt med x-aksen )

Men hvorfor dobbelderiverer du? I boka kommer ikke dette før neste delkapittel. Hvordan brukes dobbelderivering i denne oppgaven for å finne svaret?

[Mattebruker]

Vi finn dobbelderiverte ( andrederiverte ) ved å derivere f'( x ):

f'( x ) = 3 a x[tex]^{2}[/tex] + 2b x + c

f''( x ) = 3 [tex]\cdot[/tex]2 a x + 2 b = 6a x + 2 b

Den dobbelderiverte ( f''( x ) ) viser krumminga til grafen til " moderfunksjonen " f.

Grafen til f vender den " hole sida " opp ( f'( x ) er veksande ) når f''( x ) er positiv.

Grafen til f vender den " hole sida " ned ( f'( x ) er minkande ) når f''( x ) er negativ.

Grafen til f skifter krumming når f''( x ) = 0.
Der grafen skifter krumming ( f''( x ) = 0 ) får vi eit såkalla vendepunkt og tangenten i dette punktet( vendetangenten ) kryssar grafen samtidig som den tangerer.
Dersom vendetangenten går parallelt med x-aksen ( f'( x ) = 0 ), seier vi at vendepunktet er eit terassepunkt ( vendepunktet får "terasseform" )

Opplysninga om at punktet ( 3 , 4 ) er eit terassepunkt gir oss såleis tre "uavhengige" likningar og dermed ei eintydig løysing på parametersettet { a , b og c }.

[jos]

Jeg regner ut de tre følgende
1. f(3)=27a+9b+3c+d=1
2. f’(3)=27a+6b+c=0
3. f’(1)=3a+2b+c=0

Trekker f’(1) fra f’(3) som gir 24a+4b. Dette igjen gir b=-6a.

Videre trekker jeg 24a+4b fra f(3)=1. Dette gir 3a i første ledd. Deler 3a på 3, og må derfor gjøre det med 1. a=1/3.3a delt på 3 = a ikke $\frac{1}{3}$ Er dette riktig måte å finne a på? Jeg skal ikke tenke på å trekke 4b fra 9b?
.
Det blir ikke riktig. Grunnen til at vi kan trekke en likning fra en annen, er at "likt minus likt = likt". En likning er som en skålvekt hvor likhetstegnet er omdreiningspunktet. Hvis skålvekten i utgangspunktet er i likevekt, så vil den forbli i likevekt hvis vi øker elle minsker vekten i skålene like mye. Det betyr at hvis vi utfører samme operasjon på uttrykkene på begge sider av likhetstegnet (+,-,* /, ln, √, ..),vil vi stadig vekk ha:venstreside = høyreside. Poenget er da å utføre operasjoner som forenkler regningen slik f. eks. c blir eliminert i likning (2) og (3) når vi trekker (3) fra (2), og vi finner b uttrykt ved a som b = -6a. Men operasjonen må inkludere hele venstrsiden og hele høyresiden. Å trekke 24a + 4b = 0 fra (1)
gir 24a +5b + 3c +d = 1. Hvis du skal dele på 3 her, må du dele hele venstresiden = 24a +5b + 3c +d på 3 samtidig som du deler høyresiden = 1 på 3. Men disse operasjonene forenkler ikke uttrykkene.

Siden a=1/3, (du har ikke vist at a = 1/3), kan jeg ta b=-6*(1/3) som blir -2.

Fra f(3)=1-ligningen regner jeg ut 27*1/3+9*(-2)+c3=1-1=0 (-1 stammer fra d=1 flyttet over på andre siden av likhetstegnet. Dette gir 3c/3=9/3 som blir 3. d vet vi er 1. Plugger variablene inn i ax^3+bx^2+cx+d og får det riktige svaret.

Er redd jeg overser noen viktige matteregler, se kommentarene ovenfor og har fått svaret til å bli det samme som i fasiten «kun fordi jeg vet svaret», om det gir mening. Er helt svett av denne oppgaven nå, har holdt på med den ALT for lenge..
[/quote]

[Malie2321]

Jeg regner ut de tre følgende
1. f(3)=27a+9b+3c+d=1
2. f’(3)=27a+6b+c=0
3. f’(1)=3a+2b+c=0

Trekker f’(1) fra f’(3) som gir 24a+4b. Dette igjen gir b=-6a.

Videre trekker jeg 24a+4b fra f(3)=1. Dette gir 3a i første ledd. Deler 3a på 3, og må derfor gjøre det med 1. a=1/3.3a delt på 3 = a ikke $\frac{1}{3}$ Er dette riktig måte å finne a på? Jeg skal ikke tenke på å trekke 4b fra 9b?
.
Det blir ikke riktig. Grunnen til at vi kan trekke en likning fra en annen, er at "likt minus likt = likt". En likning er som en skålvekt hvor likhetstegnet er omdreiningspunktet. Hvis skålvekten i utgangspunktet er i likevekt, så vil den forbli i likevekt hvis vi øker elle minsker vekten i skålene like mye. Det betyr at hvis vi utfører samme operasjon på uttrykkene på begge sider av likhetstegnet (+,-,* /, ln, √, ..),vil vi stadig vekk ha:venstreside = høyreside. Poenget er da å utføre operasjoner som forenkler regningen slik f. eks. c blir eliminert i likning (2) og (3) når vi trekker (3) fra (2), og vi finner b uttrykt ved a som b = -6a. Men operasjonen må inkludere hele venstrsiden og hele høyresiden. Å trekke 24a + 4b = 0 fra (1)
gir 24a +5b + 3c +d = 1. Hvis du skal dele på 3 her, må du dele hele venstresiden = 24a +5b + 3c +d på 3 samtidig som du deler høyresiden = 1 på 3. Men disse operasjonene forenkler ikke uttrykkene.

Siden a=1/3, (du har ikke vist at a = 1/3), kan jeg ta b=-6*(1/3) som blir -2.

Fra f(3)=1-ligningen regner jeg ut 27*1/3+9*(-2)+c3=1-1=0 (-1 stammer fra d=1 flyttet over på andre siden av likhetstegnet. Dette gir 3c/3=9/3 som blir 3. d vet vi er 1. Plugger variablene inn i ax^3+bx^2+cx+d og får det riktige svaret.

Er redd jeg overser noen viktige matteregler, se kommentarene ovenfor og har fått svaret til å bli det samme som i fasiten «kun fordi jeg vet svaret», om det gir mening. Er helt svett av denne oppgaven nå, har holdt på med den ALT for lenge..

[/quote]

Nemlig, var det jeg syntes var rart, å kun skulle finne a=1/3 ved å kun dele 3 på a, og ikke hele utrykket. Dette var eneste måten jeg klarte å finne frem til at a=1/3, og klarer ikke se hvordan jeg skal komme frem til det svaret på noen annen måte. (Det jeg mente var at når jeg deler a3 på 3, måtte jeg gjøre det med 1 som var på høyresiden av likhetstegnet, derav ble 1 = 1/3 etter å ha delt på 3.)

Jeg har gitt opp på denne oppgaven og gått videre nå etter å ha holdt på med den i over et døgn tilsammen med iherdig jobbing og googling, da jeg ikke klarer å finne ut hvordan jeg kommer frem til svaret, det gjelder også de andre «finn funksjonsuttrykk» oppgavene… Har brukt alt for lang tid på disse nå, og burde heller fokusere på resten av boka, bare litt over to mnd til eksamen. Krysser fingene for at det ikke kommer på eksamen

[jos]

Grunnen til at du ikke finner hva a er i oppgaven, skyldes, så vidt jeg kan se, at a er ubestemt gitt tallene i likningssettet, noe jeg pekte på i et tidligere innlegg. I den siste oppgaven du presenterer, er det derimot mulig å løse likningssettet entydig.

Vi har $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. f(0) = -5 => d = -5, f(3) = 4 => 27a + 9b + 3c - 9 = 0$
$f´(x) = 3ax^2 + 2bx + c, f´(3) = 27a + 6b + c = 0, $
$f´´(x) = (f´(x))´ = (3ax^2 + 2bx +c)´= 6ax + 2b, f´´(3) = 18a + 2b = 0.$

Vi har altså lIkningsettet:
$(1): 27a + 9b + 3c - 9 = 0$
$(2): 27a + 6b + c = 0$
$(3): 18a + 2b = 0$

Fra $(3): b = -9a$
Fra $(2): 27a +6 * (-9a) + c = 0 => c = 27a$
Fra $(1): 27a + 9 * (-9a) + 3 * 27 a - 9 = 0 => 27a = 9, a = \frac{1}{3}, c = 9,b =-3$