matematikk.net

Realartium 1883 :

Oppgåva har denne ordlyden ( ordrett avskrift frå Haffner og Haagaas si oppgavesamling (1971 ) ) :

Sirkelen x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + 6x - 8y = 0 går som en ser gjennom origo. Finn de to punkter på periferien
som sammen med origo danner hjørnene i en likesidet trekant.

Problemet kan løysast med to høgst forskjellige verktøy: Tradisjonell plangeometri eller vektorrekning.
Begge metodane ligg innafor R1-pensum.

Oppmodar hermed alle problemorienterte R1-elevar ( og andre interesserte ) til å finne ut om den eine metoden er å
foretrekke framfor den andre. God fornøyelse !

Mattegjest skrev:Realartium 1883 :

Oppgåva har denne ordlyden ( ordrett avskrift frå Haffner og Haagaas si oppgavesamling (1971 ) ) :

Sirkelen x[tex]^{2}[/tex] + y[tex]^{2}[/tex] + 6x - 8y = 0 går som en ser gjennom origo. Finn de to punkter på periferien
som sammen med origo danner hjørnene i en likesidet trekant.

Problemet kan løysast med to høgst forskjellige verktøy: Tradisjonell plangeometri eller vektorrekning.
Begge metodane ligg innafor R1-pensum.

Oppmodar hermed alle problemorienterte R1-elevar ( og andre interesserte ) til å finne ut om den eine metoden er å
foretrekke framfor den andre. God fornøyelse !

De to punktene på periferien, som sammen med origo danner en likesidet trekant, får navn A og B.
Sirkelen er den omskrevne sirkelen til trekanten OAB, som igjen betyr at sentrum er skjæringspunktet mellom midtnormalene. Siden trekanten er likesidet, vil dette også være skjæringspunktet mellom medianene. Når vi da kjenner radius i sirkelen, kan vi bestemme et punkt M, som er midpunktet på AB.
Siden AB står vinkelrett på OS, kan vi bestemme en parameterfremstilling for ei linje gjennom A, M og B.
Trekant OMA er en 30-60-90-trekant, så kan også bestemme lengden av MA ved hjelp av pythagoras' setning.
Vi har nå både en parameterfremstilling for ei linje gjennom M og A og avstanden mellom M og A.
Da kan vi finne koordinatene til A og B (MB = -MA)

Nå har jeg ikke røpt løsningen her, og heller ikke vist noen beregninger, men kan presentere det om det er ønskelig
Jeg mener jeg her har kombinert vektorregning og tradisjonell plangeometri, så for min del var det vel en kombinasjon som fungerte best

Kan kanskje kutte ut parameterframstillinga. Elles rask og effektiv løysing !

Mattegjest skrev:Kan kanskje kutte ut parameterframstillinga. Elles rask og effektiv løysing !

Ja, man kan alternativt bruke si at man har en vektor [tex]\underset{MA}{\rightarrow}[/tex] med samme komponenter som i parameterfremstillinga til ei linje gjennom M og A. Poenget er at man har både retning og avstand fra M, og dermed finner A

Presenterer løsningen min litt senere

That's the point !

Her er mitt løsningsforslag.
Mulig det kan gjøres enklere, men gikk ganske fint på denne måten.

Morsom oppgave!

Enklare: AM = OM [tex]\cdot[/tex]tan30[tex]^{0}[/tex]

Elles perfekt løysing !