Hvordan å finne skjæringssirkel mellom et plan og en kule?

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Hvordan å finne skjæringssirkel mellom et plan og en kule?

Innlegg Vektor i rommet » 21/11-2003 00:29

Kula: (x-5)i annen + (y-2)i annen + (z-1)i annen = 49
Planet: 2x + 2y +z - 6 = 0
Problem:
a) Skjærer de hverandre?
b) Hvis ja, hva er skjæringssirkelens radius og sentrum?
Vektor i rommet offline

Innlegg marv » 11/03-2005 18:59

Hehe. Denne hadde ligget død lenge nå.
Prøver meg på et løsningsforslag. Innmari irriterende at mellomrom blir fjernet i forumet, nesten helt umulig å skrive formler og uttrykk!

Ut fra ligningene kan man lese at kula har sentrum i (5, 2, 1) og har en radius på 7 (\/49). En normalvektor til planet er [2, 2, 1].

a) Avstanden fra planet med normal vektor [a,b,c] til punktet P(x,y,z) er:
Kode: Merk alt
 | (2x + 2y + z - 6)  |
 --------------------------- = d
  \/(a^2 + b^2 + c^2)

| 10 + 4 + 1 - 6 |      15
-------------------  =  ---   = 5
  \/(4 + 4 + 1)           3

Svar: Ja, de skjærer hverandre fordi avstanden til punktet i planet som er nærmest sentrum i kula er mindre enn radiusen i kula.

b) Hvis man tegner opp et snitt av kula som går gjennom sentrum i den, (det blir en sirkel) vil skjæringssirkelen være en korde som har den korteste avstanden 5. Radiusen i sirkelen, radiusen i kula og den avstanden vi fant ovenfor danner en rettvinklet trekant. (Dette høres vanskelig ut, men tegn opp!)

Radiusen i sirkelen blir da

r = \/( 7^2 - 5^2) = \/24

Vektoren fra origo til sentrum i kula er [5,2,1]. Vi vet at vektoren fra sentrum i kula til sentrum i sirkelen er parallell med normalvektoren [2,2,1] og den er 5 enheter lang. Vi finner den vektoren fra sentrumene slik:

| t * [2,2,1] | = 5

\/(4t^2 + 4t^2 + t^2) = 5

\/(9t^2) =5    t = 5/3

Det fører til at vektoren mellom sentrumene er lik 5/3 * [2,2,1]
= [10/3, 10/3, 5/3]

Vektoren fra origo til sirkelsentret blir lik [5,2,1] + [10/3, 10/3, 5/3]
= [25/3, 25/3, 8/3]

Sirkelen må ha sentrum i (25/3, 25/3, 8/3)
--------------------------------------------------

Mvh. PI
marv offline

Innlegg Gjest » 09/08-2005 14:06

| 10 + 4 + 1 -6 | = 9, vil jeg mene !?
Gjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 10 gjester