Hvordan å finne skjæringssirkel mellom et plan og en kule?

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Vektor i rommet

Kula: (x-5)i annen + (y-2)i annen + (z-1)i annen = 49
Planet: 2x + 2y +z - 6 = 0
Problem:
a) Skjærer de hverandre?
b) Hvis ja, hva er skjæringssirkelens radius og sentrum?
marv

Hehe. Denne hadde ligget død lenge nå.
Prøver meg på et løsningsforslag. Innmari irriterende at mellomrom blir fjernet i forumet, nesten helt umulig å skrive formler og uttrykk!

Ut fra ligningene kan man lese at kula har sentrum i (5, 2, 1) og har en radius på 7 (\/49). En normalvektor til planet er [2, 2, 1].

a) Avstanden fra planet med normal vektor [a,b,c] til punktet P(x,y,z) er:

Kode: Velg alt

 | (2x + 2y + z - 6)  |
 --------------------------- = d
  \/(a^2 + b^2 + c^2) 

| 10 + 4 + 1 - 6 |      15
-------------------  =  ---   = 5
  \/(4 + 4 + 1)           3

Svar: Ja, de skjærer hverandre fordi avstanden til punktet i planet som er nærmest sentrum i kula er mindre enn radiusen i kula.

b) Hvis man tegner opp et snitt av kula som går gjennom sentrum i den, (det blir en sirkel) vil skjæringssirkelen være en korde som har den korteste avstanden 5. Radiusen i sirkelen, radiusen i kula og den avstanden vi fant ovenfor danner en rettvinklet trekant. (Dette høres vanskelig ut, men tegn opp!)

Radiusen i sirkelen blir da

r = \/( 7^2 - 5^2) = \/24

Vektoren fra origo til sentrum i kula er [5,2,1]. Vi vet at vektoren fra sentrum i kula til sentrum i sirkelen er parallell med normalvektoren [2,2,1] og den er 5 enheter lang. Vi finner den vektoren fra sentrumene slik:

| t * [2,2,1] | = 5

\/(4t^2 + 4t^2 + t^2) = 5

\/(9t^2) =5    t = 5/3

Det fører til at vektoren mellom sentrumene er lik 5/3 * [2,2,1]
= [10/3, 10/3, 5/3]

Vektoren fra origo til sirkelsentret blir lik [5,2,1] + [10/3, 10/3, 5/3]
= [25/3, 25/3, 8/3]

Sirkelen må ha sentrum i (25/3, 25/3, 8/3)
--------------------------------------------------

Mvh. PI
Gjest

| 10 + 4 + 1 -6 | = 9, vil jeg mene !?
Svar