matematikk.net

Noen som klarer å finne ut av hva n-uttrykket til denne tallrekken er?

2 - 8 - 20 - 38

Tomattryne42 skrev:Noen som klarer å finne ut av hva n-uttrykket til denne tallrekken er?

2 - 8 - 20 - 38

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2+,+8+,+20+,+38,...

Janhaa løyser problemet ved å bruke eit dataprogram ( regresjonsanalyse ). Og det er greitt nok.

Samtidig må det seiast at det er fullt mogleg å kome fram til formelen a[tex]_{n}[/tex] = ...................

utan å bruke digitale hjelpemiddel.

Vi har en tallrekke på formen [tex]k_n=an^2+bn+c[/tex]

Ved innsetting av [tex]n=(1,2,3)[/tex] kan vi få tre likningssystemer som gir verdier for [tex](a,b,c)[/tex]

som gir [tex]a=3\wedge b=-3\wedge,c=2[/tex]

En generell formel for det n'te leddet i en slik rekke kan utledes til å være gitt ved [tex]k_n=\frac{d_0n^2}{2}+dn-\frac{3d_0n}{2}+(k_1+d_0-d)[/tex]

hvor [tex]d=k_2-k_1[/tex] og [tex]d_0[/tex] er den andre differansen mellom to vilkårlige påfølgende tall i følgen [tex]k_n-k_{n-1}[/tex]

ved innsetting får vi da at [tex]k_n=\frac{6}{2}n^2+6n-\frac{18n}{2}+(2+6-6)=3n^2-3n+2[/tex]

ALTERNATIV LØYSING:

a[tex]_{1}[/tex] = 2

a[tex]_{2} - a_{1}[/tex] = 8 - 2 = 6 = 1[tex]\cdot[/tex] 6

a[tex]_{3} - a_{2}[/tex] = 20 - 8 = 12 = 2[tex]\cdot[/tex]6

[tex]a_{4} - a_{3}[/tex] = 38 - 20 = 18 = 3[tex]\cdot[/tex]6

[tex]a_{n} - a_{n-1}[/tex] = 6 [tex]\cdot[/tex]( n - 1 )

Summerer V.S. og H.S. kvar for seg. Ledda på V.S. nullar seg ut parvis og vi endar opp med

[tex]a_{n} = 6\cdot (1 + 2 + 3 + .....( n-1 ))= 6\cdot S_{n-1}[/tex]( aritm. rekke ) = 6 [tex]\cdot[/tex][tex]\frac{1 + (n-1)}{2}\cdot (n-1)[/tex] = 6[tex]\cdot \frac{n}{2}\cdot (n-1)[/tex] = 3 n ( n-1 )

Her har du glemt første leddet: a1 = 2 slik at formelen for an blir: 3n^2 -3n +2

Du har heilt rett ! Beklageleg slurvefeil .