Abelkonkurransen 2015/2016

Det er god trening å prate matematikk. Her er det fritt fram for alle. Obs: Ikke spør om hjelp til oppgaver i dette underforumet.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Jeg følte oppgavene i år var litt vanskeligere enn de tidligere oppgavene. Jeg regnet meg fram til at jeg fikk 83 poeng, jeg bommet på oppgave 6 noe jeg føler meg skikkelig flau over...
Tror grensen på å komme til 2. runde kommer til å være litt over 50 poeng.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Bommet på oppgave 13 (kjip regnefeil) og 15 (klarte å få divisjonen 403:13 til å ikke gå opp :P ). Endte opp på 90 totalt.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Regnet gjennom alle oppgavene i kveld, og mitt inntrykk er at det var litt vanskeligere enn vanlig. Ganske sikker på at jeg hadde fått dårlig tid om jeg skulle gjort alt innenfor tidsramma.

Jeg gjorde oppgavene 16, 19 og 20 på litt andre måter enn løsningsforslaget:

16. ${2015\choose 15}=N$. Ser først at både telleren og nevneren er delelig på $10^3$, men ikke $10^4$. Så deler begge med 1000, og betraktet produktene modulo 10. Da ser vi at siste siffer både i teller og nevner er 8. Dermed står vi igjen med at $8=8N \mod(10)$. Da må siste siffer i N være enten 1 eller 6, så dermed er alternativ E rett.


19. La $S_n=\{a, a+1, ..., b\}$, $S_{n+1}=\{2a+1, 2a+2,..., 2b-1\}$ etc. Da er $A_n=|S_n|=b-a+1$, $A_{n+1}=2b-1-(2a+1)+1=2(b-a+1)-3=2A_n-3$ etc.

Vi får rekurrensrelasjonen $A_{n+1}=2A_n-3$, med $A_0=4$. Denne har løsning $A_n=2^n+3$, så $A_{10}=2^{10}+3=1027$.

20. Sammenligner summen til høyre med arealet under grafen til $f(x)=\frac{1}{x^2}$ mellom $x=2015$ og $4030$. Da ser vi at $\frac{1}{x}<\int_{2015}^{4030}\frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{2015}-\frac{1}{4030}=\frac{1}{4030}$. Altså er $x>4030$, så alternativ E må være riktig.
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

På oppgave 16 kunne man også bruke følgende lemma:

La $B(n)$ være mengden av alle $r$ som er slik at $2^r$ er et ledd i den binære representasjonen av $n$. Vi har at $\binom{n}{k}$ er odde hvis og bare hvis $B(k)\subseteq B(n)$.

Forøvrig synes jeg oppgave 19 var mistenkelig lik oppgave 6 fra fjorårets andre runde:

La $A_0$ være mengden ${1, 2, 3, 4}$. La $A_i+1$ være mengden av alle mulige summer du kan få ved å addere to tall i $A_i$, der de to tallene ikke trenger være forskjellige. Hvor mange forskjellige tall er det i $A_8$?
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Hvordan gikk det i dag? :)
MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Jeg svarte på alt og er ganske sikker på at jeg hadde riktig på alle utenom den siste oppgaven, hva med deg? :)
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Har noen oppgavesettet?
Har vært syk denne uken så jeg fikk ikke blitt med...
Alt som gjenstår hos meg er kjemiolympiaden
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Bilde
Bilde

Sorry for at bildene er på skrå, vet ikke hvordan jeg får de rett...
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

MatteGeniet99 skrev:Jeg svarte på alt og er ganske sikker på at jeg hadde riktig på alle utenom den siste oppgaven, hva med deg? :)
Svaret på siste er vel 4? Hvis ikke har jeg missa :lol:. Ellers løste jeg alle oppgavene, men dreit meg ut da jeg skulle skrive svaret på 2 stk, noe jeg ikke er spesielt fornøyd med. Synes nivået i år var som i fjor.
MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Svaret på siste var 4 ja, morsom oppgave egentlig :D Jeg gjorde en smertefull tabbe på oppgave 7, jeg kom fram til at jeg måtte finne det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112) + 444 også fant jeg det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112), så skrev jeg det som svar uten å plusse på de 444.
Hvilken regnefeil gjorde du?
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Akkurat samme som deg! Så det står 446 hos meg også :P . I tillegg hadde jeg svart 12 på oppgave 6, men endret det til 17 da jeg gikk over svarene mine. Skjønner fortsatt ikke hvorfor jeg gjorde det... Så jeg tror jeg får 80, som er ok, men skulle gjerne vært foruten de feilene der. Forresten, her er alle svarene mine:

1: 10
2: 565
3: 396
4: 150
5: 2
6: 17
7: 446
8: 256
9: 968
10: 4
MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Men er 12 det riktige svaret ikke sant?
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

MatteGeniet99 skrev:Men er 12 det riktige svaret ikke sant?
Jaja; det var bare jeg som dreit meg ut under prøven :)
MatteGeniet99
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 10/10-2014 17:44

Da ser det ut som vi kommer til finalen da ihvertfall! :)
stensrud
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Sted: Cambridge

Håper da det, hadde vært moro :)
Svar