A tumbler stands on a flat table. The glass consists of a right circular cylindrical shell with inner radius 33 cm, height 1010 cm and mass $m_s = 50$ grams in the top of a massive, cylindrical base with height 1 cm and mass mbmb = 10 grams. For each $x \in [0, 10]$, let $h (x)$ be the height of the center of gravity of the glass with content across the table, when water height from the bottom of the glass is xx cm. We have then
\begin{equation} h(x) = \dfrac {m_b h_b + m_s h_s + m_v h_v}{m_b + m_s + m_v} \end{equation}
where hbhb cm is the height of the center of gravity for the glass bottom of the table, hshs cm height the center of gravity of the glass sidewall of the table, etc. gram is the mass of water and hvhv cm, the height of center of gravity above the water table. a) Explain why $h_b = 0.5$, $h_s = 6$, $m_v = 9π x$ and $h_v = 1 + x/2$. You can think that 11 cubic centimeter of water has lots of exactly 11 gram.
b) Calculate $h (0)$ and $h (10)$. How can these function values interpreted?
c) Determine where hh wax and wane on scoping $D_h = [0, 10]$. Find any local and global extremal for hh.
d) What water height xixi glass gives the lowest height $h (x)$ for the center of gravity?
e) Calculate the value of the function $h (x$) corresponding value for xx that was in d). What you discover?
need help, calculus
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Til spørsmål a)
Høyden til bunnens tyngdepunkt. Bunnen er 1 cm høy og massen i bunnen (antas jevnt fordelt) har vekt 10 gram. Tyngdepunktet er i midten av bunnen, dvs. i høyde på 0,5 cm: hb=0,5
Høyden til tyngdepunktet i det sirkulære sylinderskallet (når det ikke er vann i glasset) er 1cm (bunnen) pluss tyngdepunktet til sylinderskallet: 5cm, dvs. hs=6cm
Høyden til vannets tyngdepunkt over bordet er høyden på bunnen pluss halvparten av vannets høyde i glasset, dvs. hv=1+x/2
I en rett sirkulær sylinder er volumet gitt ved V=pi×r^2×X. Vi får oppgitt at 1 kubikkcm. med vann har masse nøyaktig 1 gram. Vi har fått oppgitt at glassets radius er 3 cm slik at da får vi at V=9×pi×Xcm^3 noe som betyr at mv=9×pi×X.
Så a) er riktig
Til spørsmål b)
Jeg får også:
h(0)= 5,08
h(10)=5,84 (du får 5,83). Mulig pga. avrunding.
Tolkningen er at h(0) og h(10) er høyden til tyngdepunktet for (hele) glasset når glasset er henholdsvis tomt og breddfullt.
Til spørsmål c)
c) denne oppgaven skal løses vhp derivasjon: her må du bruke regelen for derivasjon av en brøk f(x)/g(x). Her sliter jeg litt: jeg forsøkte å regne meg fram til h'(x)=0 og da fikk jeg uttrykket x = f(x)/g(x) -1. Er veldig usikker på om dette er rett. Det kan kanskje være lurt å regne ut h(x) for ulike verdier av x for å se hvordan h(x) oppfører seg.
Tar gjerne i mot noen hint hvis noen har gode forslag til hvordan man skal gå fram her.
Høyden til bunnens tyngdepunkt. Bunnen er 1 cm høy og massen i bunnen (antas jevnt fordelt) har vekt 10 gram. Tyngdepunktet er i midten av bunnen, dvs. i høyde på 0,5 cm: hb=0,5
Høyden til tyngdepunktet i det sirkulære sylinderskallet (når det ikke er vann i glasset) er 1cm (bunnen) pluss tyngdepunktet til sylinderskallet: 5cm, dvs. hs=6cm
Høyden til vannets tyngdepunkt over bordet er høyden på bunnen pluss halvparten av vannets høyde i glasset, dvs. hv=1+x/2
I en rett sirkulær sylinder er volumet gitt ved V=pi×r^2×X. Vi får oppgitt at 1 kubikkcm. med vann har masse nøyaktig 1 gram. Vi har fått oppgitt at glassets radius er 3 cm slik at da får vi at V=9×pi×Xcm^3 noe som betyr at mv=9×pi×X.
Så a) er riktig
Til spørsmål b)
Jeg får også:
h(0)= 5,08
h(10)=5,84 (du får 5,83). Mulig pga. avrunding.
Tolkningen er at h(0) og h(10) er høyden til tyngdepunktet for (hele) glasset når glasset er henholdsvis tomt og breddfullt.
Til spørsmål c)
c) denne oppgaven skal løses vhp derivasjon: her må du bruke regelen for derivasjon av en brøk f(x)/g(x). Her sliter jeg litt: jeg forsøkte å regne meg fram til h'(x)=0 og da fikk jeg uttrykket x = f(x)/g(x) -1. Er veldig usikker på om dette er rett. Det kan kanskje være lurt å regne ut h(x) for ulike verdier av x for å se hvordan h(x) oppfører seg.
Tar gjerne i mot noen hint hvis noen har gode forslag til hvordan man skal gå fram her.