matematikk.net

Heisann, lurer på om delingen på null i likningen nedenfor som er årsaken til det absurde svaret?

$x^2 - x^2 = x^2 - x^2$

$x(x-x) = (x+x)(x-x)$

$x=2x$

$1=2$

Et kjapt spørsmål: når jeg skal skrive tex i et innlegg her, kan jeg velge om jeg vil skrive mellom $$ og [tex][/tex]. Er det noen forskjell på de to måtene? Og hvis jeg skal bruke dollartegnene (raskere, for meg), finnes det et sted hvor alle funksjoner osv er listet opp? Det er mange ting jeg ikke vet hvordan skrives når jeg gjør det på den måten, altså når jeg ikke bruker tex-editoren.

Det er riktig det, det er i utgangspunktet aldri lov til å dele på null. Dersom antagelsene en gjør er gale, vil også konklusjonen være gal. Dersom en tar utgangspunkt i gale antagalser kan en med andre ord vise hva en vil, uten at det ligger noe gyldighet i det. "Jeg er en gusjelilla tomat > det eksister et tall $\varepsilon>0$ slik at $\varepsilon < \text{Antall gusjelilla tomater}$"

Her er noen lenker til latex. Brukte mye detexify før latex lå i fingrene

http://www.diskusjon.no/index.php?showtopic=1080165

http://detexify.kirelabs.org/classify.html

Ellers er det ikke her på forumet noe forskjell med [tex][tex ][/tex] og $. Merk at [] er html-tagger som har vært i bruk mye mye lengre enn dollartegne. I skikkelig latex har en, en noe annerledes inndeling. Skal en bruke matematikk i setninger bruker en dollartegn, mens \begin{ align }... \end{ align } brukes for større nummererte likninger.

Om du vil se bruken av latex, er det bare å sitere brukere som bruker det på forumet. Selv har jeg en svært karakteristisk stil, som ikke nødvendigvis er fasitsvaret på hva som er best. Jeg skriver latex som følgende

Et annet eksempel på det Nebu nevnte om å konkludere på feialktige antageleser;

$
\hspace{0.5cm}
\begin{align*}
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}= & \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\\
\sqrt{(-1) \cdot (-1)}= & \left (\sqrt{-1} \right )^2\\
\sqrt{1}= &-1\\
1= & -1
\end{align*}
$

Ser du hvor feilen gjøres?

skf95 skrev:Et annet eksempel på det Nebu nevnte om å konkludere på feialktige antageleser;

$
\hspace{0.5cm}
\begin{align*}
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}= & \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\\
\sqrt{(-1) \cdot (-1)}= & \left (\sqrt{-1} \right )^2\\
\sqrt{1}= &-1\\
1= & -1
\end{align*}
$

Ser du hvor feilen gjøres?

Er det ikke trinn 2, høyre side? Ettersom [tex]\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} =\sqrt{a\cdot b}[/tex]

skf95 skrev:Et annet eksempel på det Nebu nevnte om å konkludere på feialktige antageleser;

$
\hspace{0.5cm}
\begin{align*}
\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}= & \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1}\\
\sqrt{(-1) \cdot (-1)}= & \left (\sqrt{-1} \right )^2\\
\sqrt{1}= &-1\\
1= & -1
\end{align*}
$

Ser du hvor feilen gjøres?

Den siste overgangen, der hvor $\sqrt1$ blir til 1? Blir ikke det det samme som å gjøre slik:

$ 1 = 1 $

$ \sqrt1 = \sqrt1$

$ -1 = 1 $

Stensrud; du tenker kanskje på at når man tar kvadratrot blir svaret både pluss og minus, men det gjelder bare når du løser en likning og skal finne [tex]x[/tex]. Ellers er rota definert som den positive verdien, så [tex]\sqrt{1}=1[/tex], og kun [tex]1[/tex].

Feilen ligger der vi benytter regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Denne gjelder så fremt [tex]a[/tex] og/eller [tex]b[/tex] er [tex]\geq 0[/tex]. Her er begge negative, og dermed kan ikke denne regelen brukes. Følgelig får man også et feilaktig resultat.

skf95 skrev:Stensrud; du tenker kanskje på at når man tar kvadratrot blir svaret både pluss og minus, men det gjelder bare når du løser en likning og skal finne [tex]x[/tex]. Ellers er rota definert som den positive verdien, så [tex]\sqrt{1}=1[/tex], og kun [tex]1[/tex].

Feilen ligger der vi benytter regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Denne gjelder så fremt [tex]a[/tex] og/eller [tex]b[/tex] er [tex]\geq 0[/tex]. Her er begge negative, og dermed kan ikke denne regelen brukes. Følgelig får man også et feilaktig resultat.

Aha... Så:

$\sqrt[4]{i^4} =1 \implies i=1$ Blir feilaktig fordi vi brukte regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex] for fire negative tall (er $i$ et negativt tall forresten?), altså: $\sqrt[4]{i^4}=\sqrt[4]{\sqrt{-1}*\sqrt{-1}*\sqrt{-1}*\sqrt{-1}}=\sqrt[4]{(-1)^2}=\sqrt[4]{1}=1$

En annen ting: er det slik at regelen ikke kan brukes når begge tall er negative fordi det gir et feilaktig svar, eller gir det et feilaktig svar fordi regelen i utgangspunktet bare gjelder for ikke-negative tall?

stensrud skrev:En annen ting: er det slik at regelen ikke kan brukes når begge tall er negative fordi det gir et feilaktig svar, eller gir det et feilaktig svar fordi regelen i utgangspunktet bare gjelder for ikke-negative tall?

Del 2 kan medføre del 1.

Det er slik at regelen i utgangspunktet kun gjelder ikke-negative $a$ og $b$. Dette betyr også at man kan ende opp med feil svar ved feil bruk. Enkelte ganger kan det hende at misbruk av regneregler gir riktig svar, men disse er unntakstilfeller og kan være spesielt forvirrende.

For eksempel vet vi at $\sin(a+b) \neq \sin(a) + \sin(b)$ men for enkelte verdier for $a$ og $b$ så vil likheten være sann.

skf95 skrev:Feilen ligger der vi benytter regelen [tex]\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}[/tex]. Denne gjelder så fremt [tex]a[/tex] og/eller [tex]b[/tex] er [tex]\geq 0[/tex]. Her er begge negative, og dermed kan ikke denne regelen brukes. Følgelig får man også et feilaktig resultat.

Regnet litt på saken, og har kommet fram til følgende:

"Regelen $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ gir kun riktig svar dersom antall røtter av negative tall på venstre side er et multiplum av 4, eller er én mer enn et multiplum av 4."

Kunne noen her sjekket om dette stemmer? Mener at antall positive faktorer på høyre side skal ikke påvirke noe som helst. (Har et bevis selv som jeg tror bekrefter at hypotesen stemmer, men det er elementært, langt og kjedelig, så bryr meg ikke med å poste det her.) Har forresten bare holdt meg til heltallsverdier av variablene her, så mulig jeg har missa et par ting...