To kjappe spørsmål om $\sum$

[Aleks855]

Er det slik at $ \sum_{i=k}^{k} i = k $? Altså at man bare har ett ledd i summen dersom startverdi = sluttverdi?

Og går det an å ha lavere sluttverdi enn startverdi? Altså, kan man tolke $ \sum_{i=k}^{k-3} i $ på noen måte? Eller er det udefinert?

[Nebuchadnezzar]

Som regel definerer vi tomme summer til å være 0, og tomme produkt til å være 1

Første sum er $k$ ja, fordi du begynner på $k$ og slutter på $k$.
Siste summen går helt fint, da teller en bare nedover i stedet for oppover.
Ofte mye brukt når vi snakker om uendelige summer og slikt. Eksempelvis

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{z+k}
& = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n\frac{1}{z+k} \\
& = \lim_{n\to\infty}\frac1z+\sum_{k=1}^n \frac{1}{z-k}+\frac{1}{z+k} \\
& = \frac1z+\sum_{k=1}^\infty\frac{2z}{z^2-k^2} \\
& = \pi\cot(\pi z)
\end{align*}
$

Husk at du står fritt til å skifte index som det passer seg

$ \hspace{1cm}
\sum_{i=k}^{n} a_{i} = \sum_{i=k+p}^{n + p} a_{i-p}
$

Hvor $p \in \mathbb{Z}$ kan velges fritt.

[espen180]

Siste summen går helt fint, da teller en bare nedover i stedet for oppover.

Jeg trodde det var vanlig å betrakte summen/produktet som tom hvis sluttverdien var lavere enn startverdien, dvs. løpevariabelen er alltid stigende.