Hvem fant opp andregradslikning?
Og hvordan finner man 6gradslikning?
Var ikke det abel som sa at det var umulig?
Hvem fant opp andregradslikning?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Antar du mener løsningene på slike ligninger.
2.gradsligninger har vært løst veldig lenge uten at jeg husker, eller vet om det er kjent, hvem som gjorde det først.
6.gradsligninger kan godt ha løsninger de, men Abel fant ut at ligninger av høyere grad enn 4 ikke kunne løses med vanlig rotutdragning. Det betyr at du må finne andre metoder for å løse disse ligningene, noe som kan være ganske komplisert.
2.gradsligninger har vært løst veldig lenge uten at jeg husker, eller vet om det er kjent, hvem som gjorde det først.
6.gradsligninger kan godt ha løsninger de, men Abel fant ut at ligninger av høyere grad enn 4 ikke kunne løses med vanlig rotutdragning. Det betyr at du må finne andre metoder for å løse disse ligningene, noe som kan være ganske komplisert.
-
Gjest
Meir presist: For alle n > 4 finst det n-tegradslikningar der ein ikkje kan finna løysninga ved rotutdragning og dei fire vanlege rekneoperasjonane. Det er lett å finna likningar av høgare grad enn 4 og som kan løysast med rotutdragning etc.: Kva med x^n = 0?
-
Gjest
Min huskeliste:
x² + k = 0 : Ingen løsning
x² - k = 0 : x=+-√K eller tredje kvadratsetning når k er kvadrattall
x² +- x = 0 : Faktoriser X(X+-1) og bruk produktregel
ax² + bx + c = 0 : c>(b/2)² ? Ingen løsning. c=(b/2)² ? Fullst kvadr. og EN løsn, 2/3 kv setn.
c<((b/2)² ? to løsninger, bruke andregradsformel. Eller se løsn. direkte b= -(x1+x2), c=x1*x2
Forutsetter at a=1, men kan faktorisere og bruke samme opplegg.
x³ + x² + x = 0 : Faktoriser og prodregel + 2-gradsløsning x(x² + x + 1)
x^4 + x² + k = 0 : (x²)² + x² + k = 0 og bruke x² som x i 2-gradsformel. Løsningene er +-√hvert svar fra 2-gradsfomel
x³ + x² + x + k : Prøv å finne en faktor, og ta polynomdivisjon med den faktoren.
x² + k = 0 : Ingen løsning
x² - k = 0 : x=+-√K eller tredje kvadratsetning når k er kvadrattall
x² +- x = 0 : Faktoriser X(X+-1) og bruk produktregel
ax² + bx + c = 0 : c>(b/2)² ? Ingen løsning. c=(b/2)² ? Fullst kvadr. og EN løsn, 2/3 kv setn.
c<((b/2)² ? to løsninger, bruke andregradsformel. Eller se løsn. direkte b= -(x1+x2), c=x1*x2
Forutsetter at a=1, men kan faktorisere og bruke samme opplegg.
x³ + x² + x = 0 : Faktoriser og prodregel + 2-gradsløsning x(x² + x + 1)
x^4 + x² + k = 0 : (x²)² + x² + k = 0 og bruke x² som x i 2-gradsformel. Løsningene er +-√hvert svar fra 2-gradsfomel
x³ + x² + x + k : Prøv å finne en faktor, og ta polynomdivisjon med den faktoren.
-
Gjest
x^2 + k = 0 kan godt ha løysningar:
k = 0: x = 0 er einaste løysning
k < 0: Me har reelle løysningar x = +/- [rot][/rot]k
k > 0: Me har imaginære løysningar x = +/- [rot][/rot]k * i
Når du skriv "ingen løsning" meiner du "ingen reell løysning". Det er faktisk ein forskjell der. Elles måtte du ha teke med detaljen k > 0, for vanleg praksis er at dersom det ikkje er nemnd spesielt, så er ein variabel som k å rekna som eit vilkårleg reelt tal, ikkje til dømes berre positive reelle tal.
For ein kvar likning p(x) = 0, p(x) eit polynom med grad n, så er ein god idé å først finna ein enkelrot a: p(a) = 0. Deretter gjennomfører me polynomdivisjon p(x) : (x - a) = q(x), dvs. p(x) = (x - a)q(x), der q(x) er eit polynom av grad (n - 1). Polynomdivisjon har nyleg gått ut av pensum på vidaregåande etter som eg har forstått, men det er i prinsippet vanleg divisjon, men med nokre x'er rundt omkring. Eg viser eit døme:
(x^3 - x^2 + 2x - 8) : (x - 2) = x^2 + x + 4
- x^3 + 2x^2 trekker ifrå x^2(x - 2)
x^2 + 2x - 8 kva som gjenstår
- x^2 + 2x trekker ifrå x(x - 2)
4x - 8 kva som gjenstår
- 4x + 8 trekker ifrå 4(x - 2); ingenting gjenstår.
Altså: (x^3 - x^2 + 2x - 8) = (x - 2)(x^2 + x + 4).
Spørsmålet vert då korleis me finn denne enkeltroten. Også her finst det strategiar. La oss sjå på rasjonelle røter, reelle røter og fråvær av reelle røter:
Rasjonelle røter: p(x) = ax^n + ..... + bx + c. La oss gå ut frå at p(x) = 0 har ei rasjonell rot x = r/s, r og s relativt primske (deler ikkje faktorar større enn 1; til dømes er 5 og 12 relativt primske, men ikkje 5 og 15).
Me har då a*r^n/s^n + ... + br/s + c = 0. Gongar me med s^n får me ar^n + ... + br*s^(n - 1) + c*s^n = 0, dvs.
ar^n + s(... + br*s^(n - 2) + c*s^(n - 1)) = 0 eller
cs^n + r(...) = 0.
For at dei to siste skal gjelda må me då ha respektive at s deler a og at r deler c. Dette avgrenser dei moglege rasjonelle røtene til eit endeleg tal, nemleg alle r/s der r deler c og s deler a.
Døme: x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 15 = 0. Me har her a = 1 og c = -15, så moglege r er +/- 1, +/- 3, +/- 5 og +/- 15, medan s = +/- 1. Av dette får me at dei moglege rasjonelle røtene er +/- 1, +/- 3, +/- 5 og +/- 15, og me treng berre sjekka desse åtte:
+/- 1 fungerer ikkje, for (1 + 2 + 2 + 2) - 15 < 0 og x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x < 1 + 2 + 2 + 2.
Sjekker me 3, så oppdagar me at den fungerer. Me kan då gjennomføra ein polynomdivisjon, og får
x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x^3 + x^2 + x + 5)
Altså gjenstår det å finna løysningane til x^3 + x^2 + x + 5 = 0. Det er lett å observera at det her ikkje finst fleire rasjonelle løysningar, men kva med reelle?
Reelle, irrasjonelle røter: Eit polynom med odde grad, så som x^3 + x^2 + x + 5 har alltid ei rasjonell rot, sidan polynomet får ulike forteikn etter som x aukar mot uendeleg og x minkar mot -uendeleg (berre studér forteiknet til x^3). Å finna denne rota er på den andre sida ikkje fullt så enkelt, men dersom graden er mindre enn 5, så kan ein handtera dette ved ein formel som berre inneheld pluss, minus, gonging, deling og rotutdraging. Problemet er at for til dømes grad 3 er formelen svært stygg og vanskeleg å hugsa. Ein alternativ metode er å leita etter ei tilnærming av rota. Metoden kan vera som fylgjer:
(1) Velg to ulike tal a og b, a < b, og kalkuler p(a) og p(b).
(2A) Dersom p(a) og p(b) har ulike forteikn, så kalkulerer du p(a/2 + b/2) eller p(c) for ein annan c mellom a og b. Denne har same forteikn som anten p(a) eller p(b), la oss seia p(a). Då let du ny a verta a/2 + b/2 medan du fortsetter med same b som før (motsett dersom p(b) har same forteikn som p(a/2 + b/2). Fortsett med dette fram til du er nøgd med tilnærminga.
(2B) p(a) eller p(b) er lik null: Du har vald ein irrasjonell a eller b. Interessant... I alle høve har du funne ei rot.
(2C) p(a) og p(b) har same forteikn. Finn nokre nye a og b og prøv på nytt (forteiknskiftet skal liggja mellom a og b).
Døme: x^3 + x^2 + x + 5 = p(x).
a og b
0 og -2 p(0) = 5 > 0 medan p(-2) = -1 < 0.
p(-1) = 4 > 0
-1 og -2 p(-1.5) > 0
-2 og -1.5 p(-1.8) > 0
-2 og -1.8 p(-1.9) < 0
-1.8 og -1.9 (...)
Ingen reelle røter: Dersom graden til p(x) er eit partal, så har ikkje p(x) nødvendigvis reelle røter. Dersom ein har ein mistanke om at dette er tilfelle, så kan ein prøva å visa det ved å bruka til dømes ein av fylgjande teknikkar:
Fullføring av kvadrat: Eit døme er x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0.
Derivasjon etc.: Eit døme er p(x) = x^2 + x + 1. Her er p'(x) = 2x + 1, så me har eit botnpunkt for x = -1/2. p(x) er minst like stor som det minste botnpunktet: p(x) >= p(-1/2) = 3/4.
Ingen av desse teknikkane fungerer like godt i alle høve, men dei kan jo vera eit forsøk.
Meir komplisert døme på første metoden:
x^6 + x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 28x + 85 = (x^3 - 3)^2 + (x^2 - x - 1)^2 + 3(x - 5)^2 > 0, så ingen reelle røter.
k = 0: x = 0 er einaste løysning
k < 0: Me har reelle løysningar x = +/- [rot][/rot]k
k > 0: Me har imaginære løysningar x = +/- [rot][/rot]k * i
Når du skriv "ingen løsning" meiner du "ingen reell løysning". Det er faktisk ein forskjell der. Elles måtte du ha teke med detaljen k > 0, for vanleg praksis er at dersom det ikkje er nemnd spesielt, så er ein variabel som k å rekna som eit vilkårleg reelt tal, ikkje til dømes berre positive reelle tal.
For ein kvar likning p(x) = 0, p(x) eit polynom med grad n, så er ein god idé å først finna ein enkelrot a: p(a) = 0. Deretter gjennomfører me polynomdivisjon p(x) : (x - a) = q(x), dvs. p(x) = (x - a)q(x), der q(x) er eit polynom av grad (n - 1). Polynomdivisjon har nyleg gått ut av pensum på vidaregåande etter som eg har forstått, men det er i prinsippet vanleg divisjon, men med nokre x'er rundt omkring. Eg viser eit døme:
(x^3 - x^2 + 2x - 8) : (x - 2) = x^2 + x + 4
- x^3 + 2x^2 trekker ifrå x^2(x - 2)
x^2 + 2x - 8 kva som gjenstår
- x^2 + 2x trekker ifrå x(x - 2)
4x - 8 kva som gjenstår
- 4x + 8 trekker ifrå 4(x - 2); ingenting gjenstår.
Altså: (x^3 - x^2 + 2x - 8) = (x - 2)(x^2 + x + 4).
Spørsmålet vert då korleis me finn denne enkeltroten. Også her finst det strategiar. La oss sjå på rasjonelle røter, reelle røter og fråvær av reelle røter:
Rasjonelle røter: p(x) = ax^n + ..... + bx + c. La oss gå ut frå at p(x) = 0 har ei rasjonell rot x = r/s, r og s relativt primske (deler ikkje faktorar større enn 1; til dømes er 5 og 12 relativt primske, men ikkje 5 og 15).
Me har då a*r^n/s^n + ... + br/s + c = 0. Gongar me med s^n får me ar^n + ... + br*s^(n - 1) + c*s^n = 0, dvs.
ar^n + s(... + br*s^(n - 2) + c*s^(n - 1)) = 0 eller
cs^n + r(...) = 0.
For at dei to siste skal gjelda må me då ha respektive at s deler a og at r deler c. Dette avgrenser dei moglege rasjonelle røtene til eit endeleg tal, nemleg alle r/s der r deler c og s deler a.
Døme: x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 15 = 0. Me har her a = 1 og c = -15, så moglege r er +/- 1, +/- 3, +/- 5 og +/- 15, medan s = +/- 1. Av dette får me at dei moglege rasjonelle røtene er +/- 1, +/- 3, +/- 5 og +/- 15, og me treng berre sjekka desse åtte:
+/- 1 fungerer ikkje, for (1 + 2 + 2 + 2) - 15 < 0 og x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x < 1 + 2 + 2 + 2.
Sjekker me 3, så oppdagar me at den fungerer. Me kan då gjennomføra ein polynomdivisjon, og får
x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x^3 + x^2 + x + 5)
Altså gjenstår det å finna løysningane til x^3 + x^2 + x + 5 = 0. Det er lett å observera at det her ikkje finst fleire rasjonelle løysningar, men kva med reelle?
Reelle, irrasjonelle røter: Eit polynom med odde grad, så som x^3 + x^2 + x + 5 har alltid ei rasjonell rot, sidan polynomet får ulike forteikn etter som x aukar mot uendeleg og x minkar mot -uendeleg (berre studér forteiknet til x^3). Å finna denne rota er på den andre sida ikkje fullt så enkelt, men dersom graden er mindre enn 5, så kan ein handtera dette ved ein formel som berre inneheld pluss, minus, gonging, deling og rotutdraging. Problemet er at for til dømes grad 3 er formelen svært stygg og vanskeleg å hugsa. Ein alternativ metode er å leita etter ei tilnærming av rota. Metoden kan vera som fylgjer:
(1) Velg to ulike tal a og b, a < b, og kalkuler p(a) og p(b).
(2A) Dersom p(a) og p(b) har ulike forteikn, så kalkulerer du p(a/2 + b/2) eller p(c) for ein annan c mellom a og b. Denne har same forteikn som anten p(a) eller p(b), la oss seia p(a). Då let du ny a verta a/2 + b/2 medan du fortsetter med same b som før (motsett dersom p(b) har same forteikn som p(a/2 + b/2). Fortsett med dette fram til du er nøgd med tilnærminga.
(2B) p(a) eller p(b) er lik null: Du har vald ein irrasjonell a eller b. Interessant... I alle høve har du funne ei rot.
(2C) p(a) og p(b) har same forteikn. Finn nokre nye a og b og prøv på nytt (forteiknskiftet skal liggja mellom a og b).
Døme: x^3 + x^2 + x + 5 = p(x).
a og b
0 og -2 p(0) = 5 > 0 medan p(-2) = -1 < 0.
p(-1) = 4 > 0
-1 og -2 p(-1.5) > 0
-2 og -1.5 p(-1.8) > 0
-2 og -1.8 p(-1.9) < 0
-1.8 og -1.9 (...)
Ingen reelle røter: Dersom graden til p(x) er eit partal, så har ikkje p(x) nødvendigvis reelle røter. Dersom ein har ein mistanke om at dette er tilfelle, så kan ein prøva å visa det ved å bruka til dømes ein av fylgjande teknikkar:
Fullføring av kvadrat: Eit døme er x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 > 0.
Derivasjon etc.: Eit døme er p(x) = x^2 + x + 1. Her er p'(x) = 2x + 1, så me har eit botnpunkt for x = -1/2. p(x) er minst like stor som det minste botnpunktet: p(x) >= p(-1/2) = 3/4.
Ingen av desse teknikkane fungerer like godt i alle høve, men dei kan jo vera eit forsøk.
Meir komplisert døme på første metoden:
x^6 + x^4 - 8x^3 + 2x^2 - 28x + 85 = (x^3 - 3)^2 + (x^2 - x - 1)^2 + 3(x - 5)^2 > 0, så ingen reelle røter.
-
Gjest
Hva er rotutdraging? Holder på å skrive en oppgave på engelsk..og finner ingen bra ord for det...noen som har en god forklaring eller oversettelse?
Mailto: evelynl@online.no
KLem
Mailto: evelynl@online.no
KLem