matematikk.net

Har kikka litt på noe om generende funksjoner, og har en mistanke at jeg må sette meg inn i et eller annet først.

[tex]A(x) = \frac{x}{(1-x)(1-2x)}[/tex]

This is the generating function for the problem. The unknown numbers
an are arranged neatly on this clothesline: [tex]a_n[/tex] is the coefficient of [tex]x^n[/tex] in the
series expansion of the above A(x).
Suppose we want to find an explicit formula for the [tex]a_n[/tex]'s. Then we
would have to expand A(x) in a series. That isn't hard in this example,
since the partial fraction expansion is

[tex]\frac{x}{(1-x)(1-2x)} = x \left { \frac{2}{1-2x} - \frac{1}{1-x} \right }[/tex] (Her er det vel brukt delbrøkoppspalting)

[tex]= {2x + 2^2x^2 + 2^3x^3 + 2^4x^4 + ...}[/tex]
[tex]\ \ - {x + x^2 + x^3 + x^4 + ...}[/tex]
[tex]= (2-1)x + (2^2-1)x^2 + (2^3-1)x^3 + (2^4-1)x^4 + ...[/tex]

Etter en del tenking er jeg med å omformingen av funksjonen fra det opprinnelige uttrykket til den uendelige rekka, men jeg synes slett ikke det var så trivielt som dokumentet vil ha det til. Tror ikke jeg ville klart det samme selv. Er dette en øvingssak jeg kanskje burde sett litt mer på før jeg kaster meg over de genererende funksjonene?

Øving, øving, øving. f(x)/(b-ax) kan omformes til ei uendelig geometrisk rekke og når man har gjort det noen ganger ser man fort åssen det skal gjøres. Enig i at litt for mange mellomregninger er utelatt om man ikke er vant med omforminga, men som sagt, det sitter etter hvert.

Er dette hentet fra Herbert Wilfs "generatingfunctionology"? Isåfall, gled deg! Dette er boka jeg har blitt oppslukt av for tida, og jeg tror jeg må si (igjen!) at dette er en av de beste mattebøkene jeg noensinne har vært borti. (Det er ikke mange mattebøker jeg har så mange godord for.)

Her benytter vi oss rett og slett av geometriske rekker.

[tex]\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...[/tex]

Dermed så vet vi at
[tex]\frac{1}{1-kx} = 1 + (kx) + (kx)^2 + (kx)^3 + ...[/tex]

(Og som du vet, med genererende funksjoner er vi ikke så opptatt av hvilke verdier rekken konvergerer for.)

Hvis du har litt kjennskap til geometriske rekker, taylor/maclaurinserier og binomialekspansjoner (som du jo har), blir ikke boka et problem.

Det er tilfeldigvis den boka ja Utrolig bra at den er gitt ut gratis på nett!

http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

Tror forsåvidt jeg satser på å kikke en del mer på Kalkulus-boka først, få inn dette med potensrekker og sånn. Rett og slett få trening i omformingene!

Og så er det vel sånn at i den formelle definisjonen av potensrekker så har det ingenting å si om den divergerer? Skjønte det sånn av førstnevnte bok.