matematikk.net

Hei, har en oppgave her om geometri.

[tex][PQ][/tex] and [tex][RS][/tex] are two perpendicular chords of a circle with centre O. Prove that [tex]\angle POS[/tex] and [tex]\angle QOR[/tex] are supplementary.

Jeg blir bare litt irritert når jeg ser at det har noe å si i hvilken ende punktene S og R ligger i. Jeg beviste det for den ene måten, men jeg vet ikke nøyaktig hvor mange forskjellige måter dette kan settes opp på. Jeg tror etter figurene mine at det er 2 forskjellige måter å sette det opp på. Men vet ikke hvordan jeg kan bevise dette. Jeg liker ikke at de ikke presiserer hvordan figuren skal settes opp.

Er det noen som vet hvordan?

Geometri har aldri vært min sterkeste side, men jeg gjør et forsøk - det ser ut som om dette argumentet generaliserer.

Jeg kaller vinkelen POS for α og QOR for β.

Konstruer linjestykket [SQ]. Kall vinkelen PQS for a og RSQ for b.

Ettersom α og a spenner over samme bue, følger det fra sentervinkelteoremet at α = 2a.
På samme måte, siden β og b spenner over samme bue, gir sentervinkelteoremet at β = 2b.

La krysningspunktet mellom kordene være X. Siden kordene står vinkelrett på hverandre, følger det at trekant SXQ er rettvinklet. Vi har dermed at a+b = 90.

Fra dette følger at α + β = 2(a + b) = 180. Dermed er vinklene supplementære. QED.

Vet ikke om det er rett, men det virker logisk og det var hvertfall ***** bra forklart.

Takk for svar

Dette er scenariet jeg har bevist. Men la nå punktene R og S skifte plass, da blir vinklene annerledes (men tilsynelatende supplementære). Det er på denne måten jeg ikke klarer å bevise.

Ah, prøvde igjen nå, og det gikk, det lønner seg å gå oversiktlig til verks!

Så at det fulgte naturlig at på den andre måten er de supplementære. Siden vinklene vi nå vurderer er de vinklene vertikalt motsatt av de forrige. Følgelig er summen av disse 360.