matematikk.net

Her følger en geometrioppgave vi fikk på vår "christmas mock exam" jeg synes var ganske interessant:



På tegningen over er AD diameter i sirkelen og BC er tangent til sirkelen ved punktet D.

Du er gitt at AF = 2, BF = 4 og CE = 1.

Oppgaven lyder:
Finn lengdene BD, DA, AE og EF.

Spent på løsningen av den her. Har fiklet en stund, men ikke fått til noen verdens ting.

Her er et hint du kan bruke for å finne BD. Da følger DA lett.

EF måtte jeg ty til cosinussetninga for å finne. Ellers holder det med et punkts potens og Pytagoras.

Dette er egentlig en ganske enkel geometrioppgave: Ved bruk av to formlike trekanter kan man vise at DF = 2[symbol:rot]2. Deretter kan BD og AD finnes ved å anvende Pytagoras. Til sist kan EF bestemmes vha. Ptolemaios' setning som sier følgende:

I en syklisk firkant (dvs. en firkant som kan innskrives i en sirkel) med hjørner A, B, C og D er sammenhengen mellom diagonalene og sidene i firkanten gitt ved identiteten

[tex]AB \cdot CD \;+\; AD \cdot BC \;\;=\;\; AC \cdot BD.[/tex]

Lengden av de fire sidene blir dermed

[tex]BD \:=\: 2\sqrt{6}[/tex]

[tex]AD \:=\: 2\sqrt{3}[/tex]

[tex]AE \:=\: 3[/tex]

[tex]EF \:=\: 1 \;+\; \sqrt{6}[/tex]

Stemmer dette. Min approach:

Vi finner BD med tangent-sekantteoremet:
[tex]AB.BF = BD^2 \\ BD = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}[/tex]

AD bestemmes lett med det pythagoreiske teorem
[tex]AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 2 \sqrt{3}[/tex]

Ved å igjen bruke tangent-sekantteoremet, får vi
[tex](AE + 1) = CD^2 = (AE + 1)^2 - AD^2 = (AE + 1)^2 - 12 [/tex]
Som lett løses for å gi [tex]AE = 3[/tex]

EF bestemmes ved Ptolemys teorem.
[tex]AF.DE + AE.DF = EF.AD \\ 2DE + 3DF = 2\sqrt{3}EF \\ DE = \sqrt{(2\sqrt 3)^2 - 3^2} = \sqrt 3 \\ DF = \sqrt{(2 \sqrt 3)^2 - 2^2} = 2 \sqrt 2 \\ \therefore \ EF = 1 + \sqrt{6}[/tex]