På tegningen over er AD diameter i sirkelen og BC er tangent til sirkelen ved punktet D.
Du er gitt at AF = 2, BF = 4 og CE = 1.
Oppgaven lyder:
Finn lengdene BD, DA, AE og EF.
En liten (jule-)nøtt
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Her følger en geometrioppgave vi fikk på vår "christmas mock exam" jeg synes var ganske interessant:
På tegningen over er AD diameter i sirkelen og BC er tangent til sirkelen ved punktet D.
Du er gitt at AF = 2, BF = 4 og CE = 1.
Oppgaven lyder:
Finn lengdene BD, DA, AE og EF.
På tegningen over er AD diameter i sirkelen og BC er tangent til sirkelen ved punktet D.
Du er gitt at AF = 2, BF = 4 og CE = 1.
Oppgaven lyder:
Finn lengdene BD, DA, AE og EF.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Her er et hint du kan bruke for å finne BD. Da følger DA lett.
EF måtte jeg ty til cosinussetninga for å finne. Ellers holder det med et punkts potens og Pytagoras.
EF måtte jeg ty til cosinussetninga for å finne. Ellers holder det med et punkts potens og Pytagoras.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Dette er egentlig en ganske enkel geometrioppgave: Ved bruk av to formlike trekanter kan man vise at DF = 2[symbol:rot]2. Deretter kan BD og AD finnes ved å anvende Pytagoras. Til sist kan EF bestemmes vha. Ptolemaios' setning som sier følgende:
I en syklisk firkant (dvs. en firkant som kan innskrives i en sirkel) med hjørner A, B, C og D er sammenhengen mellom diagonalene og sidene i firkanten gitt ved identiteten
[tex]AB \cdot CD \;+\; AD \cdot BC \;\;=\;\; AC \cdot BD.[/tex]
Lengden av de fire sidene blir dermed
[tex]BD \:=\: 2\sqrt{6}[/tex]
[tex]AD \:=\: 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]AE \:=\: 3[/tex]
[tex]EF \:=\: 1 \;+\; \sqrt{6}[/tex]
I en syklisk firkant (dvs. en firkant som kan innskrives i en sirkel) med hjørner A, B, C og D er sammenhengen mellom diagonalene og sidene i firkanten gitt ved identiteten
[tex]AB \cdot CD \;+\; AD \cdot BC \;\;=\;\; AC \cdot BD.[/tex]
Lengden av de fire sidene blir dermed
[tex]BD \:=\: 2\sqrt{6}[/tex]
[tex]AD \:=\: 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]AE \:=\: 3[/tex]
[tex]EF \:=\: 1 \;+\; \sqrt{6}[/tex]
Stemmer dette. Min approach:
Vi finner BD med tangent-sekantteoremet:
[tex]AB.BF = BD^2 \\ BD = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}[/tex]
AD bestemmes lett med det pythagoreiske teorem
[tex]AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 2 \sqrt{3}[/tex]
Ved å igjen bruke tangent-sekantteoremet, får vi
[tex](AE + 1) = CD^2 = (AE + 1)^2 - AD^2 = (AE + 1)^2 - 12 [/tex]
Som lett løses for å gi [tex]AE = 3[/tex]
EF bestemmes ved Ptolemys teorem.
[tex]AF.DE + AE.DF = EF.AD \\ 2DE + 3DF = 2\sqrt{3}EF \\ DE = \sqrt{(2\sqrt 3)^2 - 3^2} = \sqrt 3 \\ DF = \sqrt{(2 \sqrt 3)^2 - 2^2} = 2 \sqrt 2 \\ \therefore \ EF = 1 + \sqrt{6}[/tex]
Vi finner BD med tangent-sekantteoremet:
[tex]AB.BF = BD^2 \\ BD = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}[/tex]
AD bestemmes lett med det pythagoreiske teorem
[tex]AD = \sqrt{AB^2-BD^2} = 2 \sqrt{3}[/tex]
Ved å igjen bruke tangent-sekantteoremet, får vi
[tex](AE + 1) = CD^2 = (AE + 1)^2 - AD^2 = (AE + 1)^2 - 12 [/tex]
Som lett løses for å gi [tex]AE = 3[/tex]
EF bestemmes ved Ptolemys teorem.
[tex]AF.DE + AE.DF = EF.AD \\ 2DE + 3DF = 2\sqrt{3}EF \\ DE = \sqrt{(2\sqrt 3)^2 - 3^2} = \sqrt 3 \\ DF = \sqrt{(2 \sqrt 3)^2 - 2^2} = 2 \sqrt 2 \\ \therefore \ EF = 1 + \sqrt{6}[/tex]