Jeg følte oppgavene i år var litt vanskeligere enn de tidligere oppgavene. Jeg regnet meg fram til at jeg fikk 83 poeng, jeg bommet på oppgave 6 noe jeg føler meg skikkelig flau over...
Tror grensen på å komme til 2. runde kommer til å være litt over 50 poeng.
Abelkonkurransen 2015/2016
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Regnet gjennom alle oppgavene i kveld, og mitt inntrykk er at det var litt vanskeligere enn vanlig. Ganske sikker på at jeg hadde fått dårlig tid om jeg skulle gjort alt innenfor tidsramma.
Jeg gjorde oppgavene 16, 19 og 20 på litt andre måter enn løsningsforslaget:
16. ${2015\choose 15}=N$. Ser først at både telleren og nevneren er delelig på $10^3$, men ikke $10^4$. Så deler begge med 1000, og betraktet produktene modulo 10. Da ser vi at siste siffer både i teller og nevner er 8. Dermed står vi igjen med at $8=8N \mod(10)$. Da må siste siffer i N være enten 1 eller 6, så dermed er alternativ E rett.
19. La $S_n=\{a, a+1, ..., b\}$, $S_{n+1}=\{2a+1, 2a+2,..., 2b-1\}$ etc. Da er $A_n=|S_n|=b-a+1$, $A_{n+1}=2b-1-(2a+1)+1=2(b-a+1)-3=2A_n-3$ etc.
Vi får rekurrensrelasjonen $A_{n+1}=2A_n-3$, med $A_0=4$. Denne har løsning $A_n=2^n+3$, så $A_{10}=2^{10}+3=1027$.
20. Sammenligner summen til høyre med arealet under grafen til $f(x)=\frac{1}{x^2}$ mellom $x=2015$ og $4030$. Da ser vi at $\frac{1}{x}<\int_{2015}^{4030}\frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{2015}-\frac{1}{4030}=\frac{1}{4030}$. Altså er $x>4030$, så alternativ E må være riktig.
Jeg gjorde oppgavene 16, 19 og 20 på litt andre måter enn løsningsforslaget:
16. ${2015\choose 15}=N$. Ser først at både telleren og nevneren er delelig på $10^3$, men ikke $10^4$. Så deler begge med 1000, og betraktet produktene modulo 10. Da ser vi at siste siffer både i teller og nevner er 8. Dermed står vi igjen med at $8=8N \mod(10)$. Da må siste siffer i N være enten 1 eller 6, så dermed er alternativ E rett.
19. La $S_n=\{a, a+1, ..., b\}$, $S_{n+1}=\{2a+1, 2a+2,..., 2b-1\}$ etc. Da er $A_n=|S_n|=b-a+1$, $A_{n+1}=2b-1-(2a+1)+1=2(b-a+1)-3=2A_n-3$ etc.
Vi får rekurrensrelasjonen $A_{n+1}=2A_n-3$, med $A_0=4$. Denne har løsning $A_n=2^n+3$, så $A_{10}=2^{10}+3=1027$.
20. Sammenligner summen til høyre med arealet under grafen til $f(x)=\frac{1}{x^2}$ mellom $x=2015$ og $4030$. Da ser vi at $\frac{1}{x}<\int_{2015}^{4030}\frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{2015}-\frac{1}{4030}=\frac{1}{4030}$. Altså er $x>4030$, så alternativ E må være riktig.
På oppgave 16 kunne man også bruke følgende lemma:
La $B(n)$ være mengden av alle $r$ som er slik at $2^r$ er et ledd i den binære representasjonen av $n$. Vi har at $\binom{n}{k}$ er odde hvis og bare hvis $B(k)\subseteq B(n)$.
Forøvrig synes jeg oppgave 19 var mistenkelig lik oppgave 6 fra fjorårets andre runde:
La $A_0$ være mengden ${1, 2, 3, 4}$. La $A_i+1$ være mengden av alle mulige summer du kan få ved å addere to tall i $A_i$, der de to tallene ikke trenger være forskjellige. Hvor mange forskjellige tall er det i $A_8$?
La $B(n)$ være mengden av alle $r$ som er slik at $2^r$ er et ledd i den binære representasjonen av $n$. Vi har at $\binom{n}{k}$ er odde hvis og bare hvis $B(k)\subseteq B(n)$.
Forøvrig synes jeg oppgave 19 var mistenkelig lik oppgave 6 fra fjorårets andre runde:
La $A_0$ være mengden ${1, 2, 3, 4}$. La $A_i+1$ være mengden av alle mulige summer du kan få ved å addere to tall i $A_i$, der de to tallene ikke trenger være forskjellige. Hvor mange forskjellige tall er det i $A_8$?
-
MatteGeniet99
- Noether
- Innlegg: 48
- Registrert: 10/10-2014 17:44
Jeg svarte på alt og er ganske sikker på at jeg hadde riktig på alle utenom den siste oppgaven, hva med deg? 
Har noen oppgavesettet?
Har vært syk denne uken så jeg fikk ikke blitt med...
Alt som gjenstår hos meg er kjemiolympiaden
Har vært syk denne uken så jeg fikk ikke blitt med...
Alt som gjenstår hos meg er kjemiolympiaden
[tex]i*i=-1[/tex]
Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)
Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)
Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
-
MatteGeniet99
- Noether
- Innlegg: 48
- Registrert: 10/10-2014 17:44
Sorry for at bildene er på skrå, vet ikke hvordan jeg får de rett...
Svaret på siste er vel 4? Hvis ikke har jeg missaMatteGeniet99 skrev:Jeg svarte på alt og er ganske sikker på at jeg hadde riktig på alle utenom den siste oppgaven, hva med deg?
. Ellers løste jeg alle oppgavene, men dreit meg ut da jeg skulle skrive svaret på 2 stk, noe jeg ikke er spesielt fornøyd med. Synes nivået i år var som i fjor.-
MatteGeniet99
- Noether
- Innlegg: 48
- Registrert: 10/10-2014 17:44
Svaret på siste var 4 ja, morsom oppgave egentlig 
Jeg gjorde en smertefull tabbe på oppgave 7, jeg kom fram til at jeg måtte finne det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112) + 444 også fant jeg det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112), så skrev jeg det som svar uten å plusse på de 444.
Hvilken regnefeil gjorde du?
Jeg gjorde en smertefull tabbe på oppgave 7, jeg kom fram til at jeg måtte finne det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112) + 444 også fant jeg det nærmeste heltallet til 4* kvadratroten av (111*112), så skrev jeg det som svar uten å plusse på de 444.Hvilken regnefeil gjorde du?
Akkurat samme som deg! Så det står 446 hos meg også 
. I tillegg hadde jeg svart 12 på oppgave 6, men endret det til 17 da jeg gikk over svarene mine. Skjønner fortsatt ikke hvorfor jeg gjorde det... Så jeg tror jeg får 80, som er ok, men skulle gjerne vært foruten de feilene der. Forresten, her er alle svarene mine:
1: 10
2: 565
3: 396
4: 150
5: 2
6: 17
7: 446
8: 256
9: 968
10: 4
. I tillegg hadde jeg svart 12 på oppgave 6, men endret det til 17 da jeg gikk over svarene mine. Skjønner fortsatt ikke hvorfor jeg gjorde det... Så jeg tror jeg får 80, som er ok, men skulle gjerne vært foruten de feilene der. Forresten, her er alle svarene mine:1: 10
2: 565
3: 396
4: 150
5: 2
6: 17
7: 446
8: 256
9: 968
10: 4
-
MatteGeniet99
- Noether
- Innlegg: 48
- Registrert: 10/10-2014 17:44
Men er 12 det riktige svaret ikke sant?
-
MatteGeniet99
- Noether
- Innlegg: 48
- Registrert: 10/10-2014 17:44
Da ser det ut som vi kommer til finalen da ihvertfall!