Notasjon, funksjoner

[Aleks855]

Jeg blir i boka bedt om å vise at $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$. Jeg trodde notasjonen på venstre side direkte betydde det som står på høyre side. Altså at det er bare to måter å skrive akkurat det samme på. Nå blir jeg jo bedt om å vise at de har samme verdi, så de er jo ekvivalente, men håper dere ser hva jeg mener her. Hva betyr egentlig notasjonen $(f+g)(x)$?

Jeg er kjent med at $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ men har ikke vært borti bruk av de fire grunnleggende regneoperasjonene i stedet for sirkelen.

[Nebuchadnezzar]

Tja, det de egentlig spør om er å vise at $(f+g)' = f' + g'$. Altså
at derivasjon er distributivt. Er rett frem ved å bruke definisjonen
av den deriverte.

$ \hspace{1cm}
\frac{d}{dx} (f+g)(x) = \frac{d}{dx}\left( f(x) + g(x) \right)
$

Kanskje den viktigste egenskapen til derivasjon er jo at den
er en lineær operator på funksjoner. Eg $D(a \cdot f+b \cdot g) = a D(f) + b D(g)$.

[Aleks855]

Så jeg kan bare bruke at $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$? Det skal jo gå helt greit for seg.

Problemet jeg sto med var at jeg tolket oppgaven som liknende til det å bevise at $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$. Det ville vært som å be meg om å bevise at $f'(x) = \frac d{dx}f(x)$.

[Nebuchadnezzar]

Jada, bare å bruke det. Er bare en alternativt skrivemåte som ofte er praktisk.
Benyttes ofte når en har mer enn to funksjoner. $(u+v+w)(x)$ eksempelvis.
Eller ved integrasjon $(\int_0^{\pi/2} + \int_{\pi/2}^\pi ) f(x) \mathrm{d}x$

[Aleks855]

En annen oppgave er å vise at $(cf)'(a) = c \cdot f'(a)$ men er ikke dette bare to måter å notere det samme på? Kan venstre side skrives på en annen måte?

EDIT: Ok, mulig jeg skjønte poenget. Ble det riktig? Bruker at $(cf)(x) = cf(x)$ men antar bare første likhet. Stemmer den?

[Nebuchadnezzar]

Anta du har en eller annen funksjon $f$. Så definerer vi en ny funkjson
$h = a \cdot f$, hvor $a$ er en konstant. Da vil $h' = (a f)'$. Også er jobben
din å vise at $(a f)' = a f'$ når $a$ er en konstant.

Husk at derivasjon er en operator som virker på hele funksjonen din. Ved å
vise at $(af)'(x) = a f'(x)$ og at $(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)$ viser du at d/dx er lineær.

EDIT: Ser helt rett ut det. Noe mer utfordrende er å vise produktregelen for derivasjon
eg $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$. Eller den deriverte av $x^n$ :p

[Aleks855]

Takk for hjelpa! Nå når jeg skjønner notasjonen, så ser jeg at jeg allerede har bevist dem.

Produktregelen: http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... bevis-1012

Brøkregelen: http://udl.no/matematikk/kalkulus/deriv ... bevis-1015

Den med $x^n$ har jeg ikke laga video på, men jeg kan å bevise den ved å bruke binomialteoremet.