Utlede Taylor-rekker

[Determined]

Ufattelig gøy at det går an å utlede formler som $\ln{(1-x)} = -\sum_{n=1}^\infty{\frac{x^n}{n}}$ (for $x \in [-1,1)$) ut fra hva man vet om grunnleggende teoremer (slik som summen av en geometrisk rekke)!

Dette er et artig område av matematikken!

[svinepels]

Enig der!:)

Se om du klarer å finne hvilken funksjon som har denne rekka som Taylorrekke:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$$

[Aleks855]

Eventuelt funker også [tex]\displaystyle \ln(1-x) = \ln(-x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(-x)^n}[/tex] for de andre x-verdiene

[Determined]

Enig der!:)

Se om du klarer å finne hvilken funksjon som har denne rekka som Taylorrekke:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$$

Hehe, piece of cake!

Deriverer, finner funksjonsuttrykk for den summen, og integrerer! Da får man $\arctan{(x)}$!

[Determined]

Eventuelt funker også [tex]\displaystyle \ln(1-x) = \ln(-x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(-x)^n}[/tex] for de andre x-verdiene

Yes! Klarte å vise at dette stemte! Jeg bare "regnet meg bakover". Flyttet logaritmene over på den ene siden, trakk dem sammen. Så deriverte jeg, og fant et funksjonsuttrykk for begge sidene (via summen av en geometrisk rekke med $r=\frac{1}{x}$). Og det ble jo $\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x(x-1)}$! (Som åpenbart stemmer...)

Men vet ikke om jeg hadde klart å finne denne formelen din uten å vite hva jeg skulle frem til! Ikke ser jeg hva den kan brukes til heller, men nå er ikke jeg en anvendbar kar, da.

[Determined]

Eventuelt funker også [tex]\displaystyle \ln(1-x) = \ln(-x) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(-x)^n}[/tex] for de andre x-verdiene

Rekka jeg kom frem til, for bruke summeringsregelen for geometrisks rekker, var $\sum_{n=1}^\infty{(\frac{1}{x})^{n+1}}$. Kan bruke forholdstesten på denne, så stemmer at dette stemmer på resten av $R$!

Fantastisk. High on math!

EDIT

Nei, vent. Må vel kun gjelde for $x \in (-\infty,-1)$...