matematikk.net

Hei! Jeg sliter med en vektor oppgave, og lurer på om noen av dere hadde noe svar på dette her..

Gitt punktene: A(1,0,1) B(0,0,1) C(1,2,1) O(0,0,0) T(1,1,4) D(2,2,1)
Punktet P ligger på linja l gjennom A og B. P er det punktet på l som ligger nærmest punktet C. Regn ut koordinatene til P.

Jeg forstår ikke helt hva dem er ute etter, skjønner heller ikke hvordan et punkt P kan være nærmest punktet C når L går igjennom AB, når det er et paralellogram... Er det noe jeg ikke ser her?

Hei,

[tex]\overrightarrow{r_{l}}=[/tex][tex]\overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix} -1, 0, 0 \end{bmatrix}[/tex]

Da får vi en parameterfremstilling for linja [tex]l[/tex]

[tex]l:\left\{\begin{matrix} x=1-t\\y=0 \\z=1 \end{matrix}\right.[/tex]

Og punktet [tex]P[/tex] får koordinatene [tex]P(1-t, 0,1)[/tex].

[tex]\overrightarrow{PC}=\begin{bmatrix} t,2,0 \end{bmatrix}[/tex]

Siden [tex]P[/tex] skal ligge nærmest mulig [tex]C[/tex], må

[tex]\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{PC}=\begin{bmatrix} -1,0,0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} t,2,0 \end{bmatrix}=0\Rightarrow -t=0\Rightarrow t=0[/tex]

Og vi får

[tex]P(1,0,1)[/tex]
(sammenfallende med pkt [tex]A[/tex])

Det er riktig at [tex]\square ABCD[/tex] er et parallellogram.

Se vedlegg for visualisering.