Hjelp med bevis for det N'te fibonacci tallet
Lagt inn: 20/07-2017 18:37
Leste nylig et papir fra Mat1001 om tallfølger og differenslikninger, og synes at det var noe fascinerende. Så på en del generelle tilfeller og tenkte at jeg utfra det jeg leste og forsto, kunne gjøre et forsøk på å gjøre et bevis for Fibonacci-sekvensen. Men jeg står litt fast nede ved slutten her, så kunne noen ha pekt meg i rett retning, eller fortalt meg om jeg faktisk er helt på jordet?
Vi vet at Fibonacci-sekvensen går som følger [tex]1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\cdots[/tex]
Ut fra dette kan vi lage oss en definisjon av fibonacci-tallene.
Vi observerer at det nullte og det første tallet i denne sekvensen, [tex]n=0[/tex] gir [tex]1[/tex] og at [tex]n=1[/tex] gir [tex]1[/tex], men deretter observerer vi at tallene er en sum av de [tex]a_{n-1}+a_{n-2}[/tex] tallene i sekvensen.
Slik at sekvensen kan defineres slik: [tex]a: \left\{\begin{matrix} a_0 &=1 \\ a_1 &=1 \\ a_n &= a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2 \\ \end{matrix}\right.[/tex]
Dette kan oppføres som en differenslikning
Vi definerer følgende:
[tex]a_n=\phi^n[/tex]
Følgelig må [tex]a_{n-1}=\phi^{n-1}[/tex] og [tex]a_{n-2}=\phi^{n-2}[/tex]
Siden vi har definert [tex]a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2[/tex] må jo [tex]\phi^n=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}[/tex]. Dividerer hele greia på [tex]\phi^n[/tex] slik at vi får [tex]1=\phi^{-1}+\phi^{-2}[/tex], ser at jeg kan, så multipliserer hele likninga med [tex]\phi^2[/tex] og flytter over, slik at vi får [tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]
Dette gir at [tex]\phi =\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
Men hvordan skal jeg kunne gå vekk fra [tex]\pm[/tex], det er ikke helt intuitivt for min del
(Hvis jeg faktisk er på sporet av noe er det mye bedre å få et hint enn hele løsningen)
Vi vet at Fibonacci-sekvensen går som følger [tex]1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\cdots[/tex]
Ut fra dette kan vi lage oss en definisjon av fibonacci-tallene.
Vi observerer at det nullte og det første tallet i denne sekvensen, [tex]n=0[/tex] gir [tex]1[/tex] og at [tex]n=1[/tex] gir [tex]1[/tex], men deretter observerer vi at tallene er en sum av de [tex]a_{n-1}+a_{n-2}[/tex] tallene i sekvensen.
Slik at sekvensen kan defineres slik: [tex]a: \left\{\begin{matrix} a_0 &=1 \\ a_1 &=1 \\ a_n &= a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2 \\ \end{matrix}\right.[/tex]
Dette kan oppføres som en differenslikning
Vi definerer følgende:
[tex]a_n=\phi^n[/tex]
Følgelig må [tex]a_{n-1}=\phi^{n-1}[/tex] og [tex]a_{n-2}=\phi^{n-2}[/tex]
Siden vi har definert [tex]a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \text { hvis } n\geq 2[/tex] må jo [tex]\phi^n=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}[/tex]. Dividerer hele greia på [tex]\phi^n[/tex] slik at vi får [tex]1=\phi^{-1}+\phi^{-2}[/tex], ser at jeg kan, så multipliserer hele likninga med [tex]\phi^2[/tex] og flytter over, slik at vi får [tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]
Dette gir at [tex]\phi =\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
Men hvordan skal jeg kunne gå vekk fra [tex]\pm[/tex], det er ikke helt intuitivt for min del
(Hvis jeg faktisk er på sporet av noe er det mye bedre å få et hint enn hele løsningen)