Bevis for deriverte av e^x
Lagt inn: 09/06-2017 16:45
Hei!
Er dette et ok bevis for at [tex]e^x[/tex] er sin egen deriverte? Og er det "lovlig" å bruke andre derivasjonsregler i et slikt bevis, eller bør man kun bruke def. av den deriverte? I dette beviset er jo derivasjonsregelen [tex](a^u)' = a^u*ln(a)*(u)'[/tex] brukt.
[tex](e^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x * e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]=e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right )[/tex]
For å løse grenseverdien [tex]\lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ][/tex] bruker jeg L'Hôpitals regel. Jeg har ikke hørt om denne regelen før nå, og ser at den ikke er pensum før på universitetet. Uansett, slik jeg har forstått den kan vi omskrive en grenseverdi [tex]\lim_{x \to C} \frac{f(x)}{g(x)}[/tex] til [tex]\lim_{x \to C} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex], gitt at [tex]\lim_{x \to C} f(x) = \lim_{x \to C} g(x) = 0[/tex]. Gjerne rett meg hvis jeg har forstått regelen feil.
Videre sier vi at [tex]f(\Delta x) = e^{\Delta x} - 1[/tex] og [tex]g(\Delta x) = \Delta x[/tex].
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(\Delta x) = e^0 - 1 = 1-1 = 0[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x) = 0[/tex]
De to grenseverdiene er like, og kravene for å bruke L'Hopitals regel er dermed oppfylt (?).
Dermed skriver vi om uttrykket; [tex]e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right ) = e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{(\Delta x)' * e^{\Delta x}}{(\Delta x)'} \right ] \right )[/tex] Det er her jeg bruker derivasjonsregelen [tex](a^u)' = a^u*ln(a)*(u)'[/tex], og jeg lurer på om man skal holde seg unna slike derivasjonsregeler i bevis som har "direkte tilknytning" til derivasjonsregelen?
TIlbake til beviset. Vi har nå at;
[tex](e^x)' = e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{(\Delta x)' * e^{\Delta x} * ln(e)}{(\Delta x)'} \right ] \right )[/tex]
[tex]= e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ e^{\Delta x} \right ] \right )[/tex]
[tex]= e^x * \left ( e^0 \right )[/tex]
[tex]= e^x*1=e^x \enspace \enspace Q.E.D[/tex]
Jeg vil avslutningsvis takke for all hjelpen jeg har fått av både Matematikk.net sin wiki (utrolig bra, og godt forklart!), samt brukere på forumet som forklarer konsepter o.l. veldig bra. Tusen takk til alle sammen!
Er dette et ok bevis for at [tex]e^x[/tex] er sin egen deriverte? Og er det "lovlig" å bruke andre derivasjonsregler i et slikt bevis, eller bør man kun bruke def. av den deriverte? I dette beviset er jo derivasjonsregelen [tex](a^u)' = a^u*ln(a)*(u)'[/tex] brukt.
[tex](e^x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x * e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]= \lim_{\Delta x \to 0} \left [\frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x} \right ][/tex]
[tex]=e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right )[/tex]
For å løse grenseverdien [tex]\lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ][/tex] bruker jeg L'Hôpitals regel. Jeg har ikke hørt om denne regelen før nå, og ser at den ikke er pensum før på universitetet. Uansett, slik jeg har forstått den kan vi omskrive en grenseverdi [tex]\lim_{x \to C} \frac{f(x)}{g(x)}[/tex] til [tex]\lim_{x \to C} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex], gitt at [tex]\lim_{x \to C} f(x) = \lim_{x \to C} g(x) = 0[/tex]. Gjerne rett meg hvis jeg har forstått regelen feil.
Videre sier vi at [tex]f(\Delta x) = e^{\Delta x} - 1[/tex] og [tex]g(\Delta x) = \Delta x[/tex].
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} f(\Delta x) = e^0 - 1 = 1-1 = 0[/tex]
[tex]\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x) = 0[/tex]
De to grenseverdiene er like, og kravene for å bruke L'Hopitals regel er dermed oppfylt (?).
Dermed skriver vi om uttrykket; [tex]e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x} \right ] \right ) = e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{(\Delta x)' * e^{\Delta x}}{(\Delta x)'} \right ] \right )[/tex] Det er her jeg bruker derivasjonsregelen [tex](a^u)' = a^u*ln(a)*(u)'[/tex], og jeg lurer på om man skal holde seg unna slike derivasjonsregeler i bevis som har "direkte tilknytning" til derivasjonsregelen?
TIlbake til beviset. Vi har nå at;
[tex](e^x)' = e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ \frac{(\Delta x)' * e^{\Delta x} * ln(e)}{(\Delta x)'} \right ] \right )[/tex]
[tex]= e^x \left ( \lim_{\Delta x \to 0} \left [ e^{\Delta x} \right ] \right )[/tex]
[tex]= e^x * \left ( e^0 \right )[/tex]
[tex]= e^x*1=e^x \enspace \enspace Q.E.D[/tex]
Jeg vil avslutningsvis takke for all hjelpen jeg har fått av både Matematikk.net sin wiki (utrolig bra, og godt forklart!), samt brukere på forumet som forklarer konsepter o.l. veldig bra. Tusen takk til alle sammen!