KJERNEREGELEN

[LesDeuxII]

Jeg er en av de som rett og slett "suger" i å føre bevis. In my opinion er det er for lite bevis på vgs, og overgangen blir dermed stor når du skal starte å bevise på uni. Jeg trenger hjelp til å starte med oppgave a) (vedlegg), setter pris på alle tips!

[Brahmagupta]

La $G(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1,x_2,\cdots , g(x_1,x_2,\cdots, x_n))$ Da gir den oppgitte ligningen at
$h(x)=f(G(x))$ er konstant lik $0$. Deriverer vi nå begge sider av ligningen med hensyn på $x_i$,
får vi at $\frac{\partial h}{\partial x_i}=0$.

Her i fra må du benytte kjerneregelen på venstre side og deretter løse for $\frac{\partial g}{\partial x_i}$.

[LesDeuxII]

La $G(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1,x_2,\cdots , g(x_1,x_2,\cdots, x_n))$ Da gir den oppgitte ligningen at
$h(x)=f(G(x))$ er konstant lik $0$. Deriverer vi nå begge sider av ligningen med hensyn på $x_i$,
får vi at $\frac{\partial h}{\partial x_i}=0$.

Her i fra må du benytte kjerneregelen på venstre side og deretter løse for $\frac{\partial g}{\partial x_i}$.

Hva hjelper denne handlingen oss med? Vil G(x) = g(x)?

[Brahmagupta]

Jeg definerte $G(x)$ for å gjøre det klarere hvordan kjerneregelen skal benyttes. Når $h(x)=f(G(x))$ så går
derivasjonen rett etter formelen.

$\frac{\partial h}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial G_1}\frac{\partial G_1}{\partial x_i}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial G_i}\frac{\partial G_i}{\partial x_i}+\cdots+\frac{\partial f}{\partial G_{n+1}}\frac{\partial G_{n+1}}{\partial x_i}$

Nå er $G_1=x_1$, $G_2=x_2$ og $G_n=x_n$, så $\frac{\partial G_j}{\partial x_i}=\frac{\partial x_j}{\partial x_i}$ som er lik $0$ for
$i\neq j$ og $1$ for $i=j$. I tillegg er $G_{n+1}=g$, så $\frac{\partial f}{\partial G_{n+1}}\frac{\partial G_{n+1}}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x_i}$

Setter vi dette inn i formelen ender vi opp med

$\frac{\partial h}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}+\frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x_i}$

Fra dette punktet er det ikke langt igjen til målet.

[LesDeuxII]

$\frac{\partial f}{\partial G_1}\frac{\partial G_1}{\partial x_i}$

Vil ikke dette ikke være lik 0?

$\frac{\partial h}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}+\frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x_i}$

Herfra så vet jeg at venstre side er lik 0 og dermed kan jeg flytte over og dermed komme frem til mål. Men hvordan vet jeg at g= Gn+1?

Tusen takk forresten!