Kan noen vurdere om beviset holder?
Ønsker å vise at funksjonen $f(x) = \cos x - x$ har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet $[0, \frac\pi4]$.
Ser ved utregning at $f(0) > 0$ og at $f(\frac\pi4)<0$.
Ved skjæringssetningen (og gitt at funksjonen er kontinuerlig på intervallet) betyr dette at funksjonen har MINST ett nullpunkt på intervallet.
Derivasjon gir $f'(x) = -(\sin x + 1)$ som er negativ på hele intervallet. Dette betyr at $f$ er strengt avtagende på intervallet og kan ha MAKSIMALT ett nullpunkt der.
Vi kan derfor konkludere med at funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt på det aktuelle intervallet.
Kun ett nullpunkt på intervallet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Alternativt kunne du sagt følgende:Aleks855 skrev:
Derivasjon gir $f'(x) = -(\sin x + 1)$ som er negativ på hele intervallet. Dette betyr at $f$ er strengt avtagende på intervallet og kan ha MAKSIMALT ett nullpunkt der.
Vi kan derfor konkludere med at funksjonen har nøyaktig ett nullpunkt på det aktuelle intervallet.
Siden $f'\neq 0$ på $(0,\frac{\pi}{4})$ følger det fra "mean value theorem" at funksjonen ikke kan ha mer enn ett nullpunkt.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
De han mener er nok at om du skal vise at $f$ har minst ett nullpunkt for $x \in [a,b]$Aleks855 skrev:Hva mener du med at endepunktene kan være tricky?
så kan det noen ganger være vanskelig å se at $f(a)>0$ og $f(b)<0$. For eks
$ \hspace{1cm}
f(x) = \frac{355}{113} x - \pi \sin \left( \frac{\pi}{2} x \right)
$
På intervalet $x \in [-2,1]$. Selvsagt ikke lov å bruke juksulator/kalkulator...
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Eller se på et mindre intervall, som lettere kan beregnes.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk