matematikk.net

Bevis for at kvadratroten av et ikke-kvadrattall er irrasjonal.

Tar i bruk aritmetikkens fundamentalteorem.

Anta for motsigelse at $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ der $m,n \in \mathbb{N}$ og brøken er forkortet så mye som mulig. Vi kan skrive $a \cdot n_1^2 n_2^2 \cdots n_i^2 = m_1^2 m_2^2 \cdots m_j^2$ hvor vi har skrevet m og n som produkt av primtall. $n \neq 1$ siden $m = \sqrt{a}$ da ville vært et heltall som betyr at a er kvadrattall. Siden m'ene og n'ene ikke har noen felles faktorer, har m'ene a som faktor, slik at vi kan skrive $n_1^2 n_2^2 \cdots n_i^2 = p_1 p_2 \cdots p_k$ hvor p'ene er primtall som kommer fra m. Men dette strider mot det faktum at brøken $\frac{m}{n}$ er forkortet så mye som mulig, siden vi vist at m og n under antagelsen har felles faktorer. Antagelsen er dermed feil, og setningen er bevist.

Hva tror dere?

"Siden m'ene og n'ene ikke har noen felles faktorer, har m'ene a som faktor, slik at ..."

Syns denne setningen var litt forvirrende. Mener det kan gjøres mer oversiktlig. Tror jeg ville satt det opp f.eks. slik:

Anta at $\sqrt{a}=\frac{m}{n}$ med gcd(n,m)=1. Da er $an^2=m^2$. Vi har nå at $gcd(n^2,m^2)=1$ så det fins heltall x,y slik at $n^2x+m^2y=1$. Nå er $n^2x+an^2y=1$, så $n^2(x+ay)=1$. Siden de eneste enhetene i $\mathbb{Z}$ er $\pm 1$, må begge faktorene være 1, altså må $n=\pm 1$, men da er $\sqrt{a}=\pm m$, og da er $a$ et kvadrattall, så vi har en selvmotsigelse.

Ditt bevis er jo mye mer elegant.