Kunne noen se på dette ulikhetsbeviset?

[Hoksalon]

Vis for alle positive, reelle tall a,b,c,d at:
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geq \frac{64}{a+b+c+d}[/tex]

Min løsning:
Jeg antar at

[tex]\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c} +\frac{r}{d} \geq \frac{opqr}{a+b+c+d}[/tex]

er sant, dermed har jeg at:

[tex](a+b+c+d)\cdot (\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c}+\frac{r}{d}) \geq opqr[/tex]

Det følger av Cauchy Schwarz-ulikheten at:
[tex](a+b+c+d)\cdot (\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c}+\frac{r}{d}) \geq (o+p+q+r)^2[/tex]

Derfor må jeg bevise at:

[tex](o+p+q+r)^2 \geq opqr[/tex]

Fra AM-GM har jeg at:
[tex](o+p+q+r)^2 \geq 4 \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{opqr}\cdot \sqrt[4]{opqr}=16 \cdot \sqrt{opqr[/tex]}

Om jeg putter inn o = 1, p = 1, q = 4, r = 16, får jeg at:

[tex]16 \sqrt{1\cdot 1\cdot 4 \cdot 16} \, \g \, 1\cdot 1 \cdot 4 \cdot 16[/tex]

Og ulikheten holder følgelig. Jeg reagerer bare på mitt eget bevis fordi jeg ikke får "lik eller større enn" på slutten. Det er noe som skurrer.

[Vektormannen]

Jeg har ikke noen ytterligere kommentar, men jeg reagerer litt på den første linja; du kan vel ikke akkurat anta at det du skal vise er sant?

[Hoksalon]

Ikke? Jeg antar at påstand A er sant, noe som medfører noe som er "innlysende". Vil ikke dette føre til at man bare kan jobbe seg bakfra i beviset mitt? Jeg forstår jo i såfall at dette på sett og vis kan sees på som et "uferdig" bevis.

EDIT: Det jeg spør om er egentlig; er det jeg har gjort ulogisk/galt?

[Vektormannen]

Ja, det stemmer. Så lenge du er klar over det så er det jo ikke noe problem (det er veldig mange som gjør bevis på den måten, men som tilsynelatende ikke er klar over at det blir feil.)

Men det man må være litt obs på er at det er ikke alltid slik at du kan jobbe deg bakover. Det er bare hvis det er ekvivalens mellom hvert steg du har gjort, ikke sant? Veldig ofte vil det jo være nettopp det, men det er noe man må være klar over. Typiske feller er der man kvadrerer eller gjør andre ting som er "irreversible" (der man anvender ikke-inverterbare funksjoner på hver side av ligningen). Når du til slutt fører det endelige beviset bør du ta det i den "riktige rekkefølgen", det er jo den implikasjonsrekken som er relevant.

EDIT: Nei, logisk sett blir det ikke galt så lenge hvert steg som sagt er ekvivalent med det forrige/neste.

Jeg har forøvrig hatt en liten rant om dette tidligere: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 265#156265

Denne "bevismetoden" kalles visst "backwards proof" på engelsk. Sitat fra denne siden:

The backward proof is sometimes diabolical. At worst, you can assume something that is false and end up with some obvious truth, and you think you proved your false statement. At best, you assume something that is true, and end up mistakenly thinking you have proved it. The following erroneous proof is too obvious to fool anyone: Assume 3=2. The by the commutative law, 2=3. Add the two equations, and we get 5=5. Subtract 5 from both sides, and we get 0=0, which I happen to know is true. Therefore 3=2. Not! To actually try to prove that 3=2, we would have to start with 0=0 and end with 3=2. And that won't work.

[Brahmagupta]

Det du bruker er ikke cauchy, den er:

[tex]\sqrt{\sum{a_i^2}}\cdot \sqrt{\sum{b_i^2}}\geq\sum{a_ib_i}[/tex]

Du må altså ha kvadrater, på venstre side. Det er derfor du får en litt for åpenbar ulikhet på slutten.

Forøvrig har jeg har erfart at det vektormannen sier om backward proof er veldig relevant i ulikhetsbevis, siden det å gå baklengs er omtrent alltid det man gjør i slike beviser.

[Hoksalon]

Vektormannen: Kult eksempel, jeg skal være obs på dette fra nå av

Brahmagupta: Ah, takk. Ser det nå.

[Hoksalon]

[tex]\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c} +\frac{r}{d} \geq \frac{opqr}{a+b+c+d}[/tex]

er sant, dermed har jeg at:

[tex](a+b+c+d)\cdot (\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c}+\frac{r}{d}) \geq opqr[/tex]

Det følger av Cauchy Schwarz-ulikheten at:
[tex](a+b+c+d)\cdot (\frac{o}{a}+\frac{p}{b}+\frac{q}{c}+\frac{r}{d}) \geq (\sqrt{o}+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r})^2[/tex]

Derfor må jeg bevise at:

[tex](\sqrt{o}+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r})^2 \geq opqr[/tex]

Fra AM-GM har jeg at:
[tex](\sqrt{o}+\sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r})^2 \geq 4 \cdot 4 \cdot \sqrt[8]{opqr}\cdot \sqrt[8]{opqr}=16 \cdot \sqrt[4]{opqr[/tex]

Om jeg putter inn o = 1, p = 1, q = 4, r = 16, får jeg at:

[tex]16 \sqrt[4]{1\cdot 1\cdot 4 \cdot 16} \, \le \, 1\cdot 1 \cdot 4 \cdot 16[/tex]

Nå skal den feilen være rettet opp, og nå er det jo tydelig at noe er galt her

[Brahmagupta]

Problemet er at du generaliserer litt for mye. Det at produktet av tellerne er lik produktet av telleren på høyre side er det samme kan være tilfeldig.
Den generelle ulikheten du tar for deg er ikke sann for alle valg av o,p,q,r.
Bare velg o,p,q,r som veldig store tall. Så vil produktet på høyre side bli veldig stort.

Det er en ganske enkel ting å bare se på ulikheten og vurdere om det er sannsynlig at den er sann, før du prøver å bevise den. Det er også lurt å sjekke om den er homogen, altså at graden av venstre side, er lik graden av den andre siden. Siden VS er av grad 0, mens HS er av grad 3, vil store tall medføre at høyresiden blir større enn venstresiden. Ikke homogene ulikheter kommer som oftest med en begrensning på variablene.

For denne ulikheten må du bare tenke litt enklere.
Ulikheten følger direkte fra cauchy:

[tex](a+b+c+d)(\frac1{a}+\frac1{b}+\frac4{c}+\frac{16}{d})\geq (sqrt{1}+\sqrt1+\sqrt4+\sqrt{16})^2=64[/tex]