matematikk.net

Bevis at kvadratroten av 3 er et irrasjonalt tall.

Svar:
Anta at kvadratroten av 3 er et rasjonalt tall mn som er forkortet mest mulig, dvs. at m og n ikke har felles faktor.
Kvadrerer vi begge sider, får vi at 3=(m^2)/(n^2) eller m^2 = 3n^2. Dette betyr at 3 må være faktor i m, og vi skriver m = 3k. Dermed får vi 9k^2 = 3n^2 og 3k^2 = n^2. Igjen betyr dette at n må være delelig med 3. Men da er både m og n delelig med 3, som er en motsigelse av antakelsen og antakelsen må da ha vært gal, altså er 3 irrasjonal.

Hvordan kan 3 gå opp i m og n. Blir det ikke: m= n[symbol:rot]3

Nei, husk at her skal n og m være naturlige tall. EDIT: Se under for en bedre forklaring

Dersom [tex]m^2 = 3n^2[/tex] så vet vi at tallet 3 er en faktor i [tex]m^2[/tex]. Rent intuitivt, er du enig i at hvis vi ganger et tall med seg selv og får noe som inneholder faktoren 3, så må faktisk tallet selv ha 3 som faktor? Aritmetikkens fundamentalteorem sier at [tex]m[/tex] kan skrives entydig som et produkt av primtall. Er du enig i at [tex]m^2[/tex] da må bestå av de samme primtallene, bare dobbelt så mange ganger? Er du enig i at 3, som er et primtall, ikke plutselig kan "oppstå" i produktet [tex]m^2[/tex] uten at det fra før var en faktor i m?

(For å bevise at [tex]3 | m^2 \ \Rightarrow \ 3 | m[/tex] kan du vise at [tex]3 \not | m \ \Rightarrow \ 3 \not | m^2[/tex]. Det kan du gjøre ved å skrive [tex]m = 3k+1[/tex] og [tex]m = 3k+2[/tex] (en av de to må gjelde hvis 3 ikke deler m), og se hva som skjer med [tex]m^2[/tex].)

hvis m= n√3, vil m^2=3n^2

skjønner ikke hvordan m kan være noe annet

Ja, du kan si at [tex]m = n\sqrt 3[/tex]. Det er ikke noe annet enn det vi startet med, nemlig at [tex]\sqrt 3 = \frac{m}{n}[/tex], og det gir oss ingenting.

Men samtidig så har vi at hvis [tex]m^2 = 3n^2[/tex] så må [tex]m = 3k[/tex], for en eller annen k. (Se ovenfor, der jeg forklarer hvorfor, og hvordan du kan bevise det). Men da er [tex]m^2 = 9k^2 = 3n^2[/tex] som betyr at [tex]n^2 = 3k^2[/tex], og samme argument en gang til gir at også n må ha 3 som faktor. Da har n og m felles faktorer, og antagelsen om at [tex]\sqrt 3[/tex] kunne skrives som en slik brøk er gal.

Hvorfor må m=3k?

Som forklart ovenfor så vil det at 3 er en faktor i [tex]m^2[/tex] også bety at 3 må være en faktor i m. At 3 er en faktor i m betyr at vi kan skrive [tex]m = 3k[/tex]‚ der k er et eller annet heltall.

Jeg forstår ikke hvordan m kan inneholde 3. Hvis 3 er faktor i m^2, skjønner jeg ikke hvorfor det må være i m. Kanskje forklaringen var litt vanskelig, eller er jeg veldig treg nå.

Alle tall kan skrives som et produkt av primtall på bare én måte. Derfor er m et produkt av primtall. Når vi ganger to tall med hverandre, ganger vi alle primtallene i det ene tallet med alle primtallene i det andre. Produktet inneholder da primtallene fra begge to. Er du enig i at det ikke kan dukke opp noen nye primtall i det produktet? Når vi ganger m med seg selv så får vi produktet [tex]m^2[/tex]. Hvis dette produktet inneholder faktoren 3, så må m også gjøre det, for primtallet 3 kan ikke bare dukke opp i produktet uten at det var en faktor i en av tallene som ble ganget sammen. Her var det m som ble ganget med seg selv, og da må m inneholder faktoren 3.

da vil vi få 9 i m^2

Ja, det stemmer, vi får, som det står i beviset ditt i første post, [tex]m^2 = 9k^2 = 3n^2[/tex]. Det fører da til at [tex]n^2 = 3k^2[/tex], og vi får akkurat det samme for n, nemlig at n også må ha 3 som faktor. Og det er altså der vi får selvmotsigelsen vår.

høres skikkelig dum ut nå, men hvordan kan 9k^2=3n^2?

Når vi opphøyde [tex]\sqrt 3 = \frac{m}{n}[/tex] i andre fikk vi [tex]3 = \frac{m^2}{n^2}[/tex], og videre da [tex]m^2 = 3n^2[/tex]. Så fant vi ut at [tex]m = 3k[/tex]. Bytter vi ut m med 3k så får vi da [tex](3k)^2 = 3n^2[/tex], det vil si [tex]9k^2 = 3n^2[/tex].

Dette høres dumt ut, men hvordan fant vi ut at k=3k?

Du mener m = 3k? Det spurte du om ovenfor.

Følgende var gganske uklart:
For å bevise at 3m^2 => 3m kan du vise at 3m => 3m^2 Det kan du gjøre ved å skrive m=3k+1og m=3k+2(en av de to må gjelde hvis 3 ikke deler m), og se hva som skjer med m^2.