To bevis for grenseverdier

[Kork]

Hei jeg har to grenseverdier jeg skal bekrefte ved den formelle definisjonen av grenseverdi. Dette syns jeg var drittvanskelig så jeg håpte noen kunne se over svarene mine:




Takk på forhånd.

[Vektormannen]

Den første er jeg helt enig i. Bra!

Den andre holder ikke, såvidt jeg kan se. Det første jeg reagerer på er at du sier at [tex]\epsilon \leq 1[/tex], noe du ikke kan si, da dette skal gjelde for alle [tex]\epsilon[/tex]. (Det du kanskje mener er at vi i alle fall velger en [tex]\delta[/tex] som er mindre eller lik 1, og hvis [tex]\epsilon < 1[/tex] så velger vi [tex]\delta = \epsilon[/tex]? Det er heller ikke helt riktig.) Det jeg uansett savner er argumentasjon for at [tex]0 < x < 2 \ \Rightarrow \ |f(x) - 1| < \epsilon[/tex]. Jeg tror du er inne på riktig spor!

[Kork]

Takk for tilbakemelding!

Jeg trodde jeg hadde lov å begrense [tex]\delta[/tex], og om jeg begrenser den til til [tex]0 < \delta \leq 1[/tex], så holder det jo å sette [tex]\delta = \epsilon[/tex] for å fullføre beviset.

Det ser ihvertfall ut for meg som de gjør de i en oppgave i boken, [tex]\epsilon[/tex] skal jo bare få lov til å bli så liten så mulig.

Det var vanskelig å få en god oversikt over dette emnet

[Gustav]

Takk for tilbakemelding!

Jeg trodde jeg hadde lov å begrense [tex]\delta[/tex], og om jeg begrenser den til til [tex]0 < \delta \leq 1[/tex], så holder det jo å sette [tex]\delta = \epsilon[/tex] for å fullføre beviset.

Det ser ihvertfall ut for meg som de gjør de i en oppgave i boken, [tex]\epsilon[/tex] skal jo bare få lov til å bli så liten så mulig.

Det var vanskelig å få en god oversikt over dette emnet :roll:

Ja, det er riktig som du har gjort. Vi trenger ikke bry oss noe om store verdier av [tex]\epsilon[/tex], siden for alle [tex]\epsilon>1[/tex] bruker du simpelthen [tex]\delta=1[/tex]

EDIT. Med "riktig" her mener jeg selvsagt at du har lov å begrense [tex]\epsilon[/tex] og [tex]\delta[/tex]..

[Vektormannen]

For [tex]\epsilon < 1[/tex] holder det ikke helt med [tex]\delta = \epsilon[/tex], men nesten. Som du sier, hvis vi i alle fall velger [tex]\delta \leq 1[/tex] så vil [tex]0 < x < 2[/tex]. Da kan du finne en øvre grense for hvor stor [tex]\left|\frac{2x+1}{x+3}\right|[/tex] blir. Når det er gjort kan du finne hvilken [tex]\delta[/tex] vi (for eksempel) velger når [tex]\epsilon < 1[/tex].

[Kork]

Nå tror jeg alt er i boks, selvom forståelsen er tynn enda

[Vektormannen]

Da er jeg mer enig! Men det er ikke slik at [tex]|x-1| \left|\frac{2x+1}{x+3}\right| < \epsilon[/tex] når [tex]1 - 1/2 < x < 1 + 1/2[/tex]. Du mente kanskje det intervallet ovenfor, der du har [tex]\epsilon/2[/tex] i stedet for [tex]1/2[/tex]? Jeg tror du også bør vise hvordan du vet at [tex]|x-1| \left|\frac{2x+1}{x+3}\right| < \epsilon[/tex] når x er i det intervallet. Slik det står nå så sier du bare at det er sånn.

[Kork]

Når jeg blir stor skal jeg bli like smart som deg Vektormannen!

Nå endret jeg den delen ganske mye, og jeg føler meg ganske sikker på at det er rett, men det gjorde jeg jo sist gang og

[Gustav]

Ser at det ble en feil i mitt forrige innlegg.

Setter du [tex]\delta=\frac12\epsilon[/tex] når [tex]\epsilon\leq 1[/tex] og [tex]\delta=\frac12[/tex] når [tex]\epsilon>1[/tex] skal det vel bli rett.

[Vektormannen]

Når jeg blir stor skal jeg bli like smart som deg Vektormannen!

Nå endret jeg den delen ganske mye, og jeg føler meg ganske sikker på at det er rett, men det gjorde jeg jo sist gang og

Smart og smart, eg har bare hatt noen flere år til å fordøye epsilon-delta-tankengangen. Jeg tror det er andre her som er langt smartere.

Nå er argumentet ditt litt klarere å forstå, men når du sier at innafor det intervallet så blir absoluttverdien av brøken mindre enn 2, hvordan har du kommet frem til det? Jeg tror kanskje det er ting de vil være interessert i vite f.eks. på eksamen.

Slik jeg har regnet (jeg valgte også å begrense med å si at [tex]\delta \leq 1[/tex]) har jeg argumentert slik:

Når [tex]\delta \leq 1[/tex] så er [tex]0 < x < 2[/tex]. Da er [tex]1 < 2x+1 < 5[/tex] og [tex]3 < x+3 < 5 \ \Rightarrow \ \frac{1}{x+3} < \frac{1}{3}[/tex]. Da får vi at [tex]\left|\frac{2x+1}{x+3}\right| < \frac{5}{3}[/tex]. Det betyr at hvis [tex]\epsilon > 1[/tex] kan vi velge [tex]\delta[/tex] lik den minste av [tex]\frac{3}{5}[/tex] og [tex]\frac{3}{5}\epsilon[/tex], og vi får da at

[tex]|x-1|\left|\frac{2x+1}{x+3}\right| < \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} \epsilon = \epsilon[/tex].

(Jeg har valgt en annen verdi for [tex]\delta[/tex] enn det du og plutarco har, men merk at [tex]\frac{1}{2} < \frac{3}{5}[/tex].)

[Kork]

KOnge! Jeg skriver det slik og durer videre.

[tex]$${\rm{Innenfor dette intervallet av }}x{\rm{ er }}\left| {2x + 1} \right| < \left| {2x + 6} \right| \Leftrightarrow \left| {{{2x + 1} \over {x + 3}}} \right| < 2$$[/tex]

[Vektormannen]

Ok, da tar jeg hatten av: Det var mye mer elegant

edit: men jeg syns det var litt viktig at du tok med [tex]|2x+1| < |2x+6|[/tex]-biten. Da viser du at du ikke "tilfeldigvis" tror at brøken blir mindre enn 2. Men nå skal ikke jeg uttale meg for mye om hva som er grei argumentasjon og ikke i et fag som jeg ikke har hatt.