Grunnleggende funksjonsbevis

[wingeer]

Hei,
Sitter og knoter litt med grunnleggende mengde- og funksjonslære og snublet over problemstillingen:
La [tex]f:A \to B[/tex] og [tex]S \subset A[/tex], [tex]T \subset A[/tex], da er:
[tex]f(S \cap T) \subset f(S) \cap f(T)[/tex].
Kladdet ned et bevis, men ble veldig usikker på at det er rett. Det vil si, jeg er ganske sikker på at det er feil, men klarer ikke se helt hvor feilen ligger. Jeg vet at dette lett kan løses ved å bruke at undermengder er bevart under bildet, men lurer på om det kan bevises uten den egenskapen. Here goes:
1. La [tex]x \in f(S \cap T)[/tex], fra definisjonen av bildet gjelder dette hvis og bare hvis [tex]\exists y \in S \cap T : f(y)=x[/tex].
2. Nå [tex]y \in S \cap T \Leftrightarrow y \in S \wedge y \in T[/tex] (definisjon av snitt).
3. [tex]\Leftrightarrow f(y)=x \in f(S) \wedge f(y)=x \in f(T) \Leftrightarrow x \in f(S) \cap f(T)[/tex].
Dette stemmer jo ikke, ettersom det bare er den ene inklusjonen som skal gjelde. Det vil si at det er en feil i pilene her. Mistenker det er i steg 3. Tror jeg har implisitt antatt injektivitet her. Noen tilbakemeldinger?

[wingeer]

Merkelig hvordan ting går opp med en gang en får det presentert foran seg.
Problemet ligger jo selvfølgelig i:
[tex]y \in S \Leftrightarrow f(y) \in f(S)[/tex]. Dette gjelder kun hvis f er injektiv:
Den ene retningen er triviell (begge ganske så, egentlig), så anta [tex]f(y) \in f(S)[/tex], siden f er injektiv er det mulig å definere en bijeksjon på bildet til f, så det finnes en inversfunksjon g, slik at:
[tex]g(f(y)) = y \in g(f(S)) = S[/tex], eller [tex]y \in S[/tex] hvilket skulle vises. Dette holder ikke hvis ikke f er injektiv, for la
[tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] med [tex]f(x)=x^2[/tex] og la [tex]S=\left{ r \in \mathbb{R} : r \geq 0 \right}[/tex].
Vi har da at [tex]f(S) = S[/tex], men [tex]f(-2)=4 \in f(S)=S[/tex], men -2 er jo åpenbart ikke i S!

[james103]

Hei,
Sitter og knoter litt med grunnleggende mengde- og funksjonslære og snublet over problemstillingen