Problemløsning: Alfabetet

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
flEinstein
Noether
Noether
Innlegg: 21
Registrert: 25/07-2011 13:16

Leste tråden "Problemløsningsteknikker" og tenkte at jeg skulle prøve meg på èn av oppgavene. Jeg har så og si ingen erfaring med bevis om man ser bort i fra noen få induksjonsbevis fra matematikk R2. Men har er altså mitt forsøkt på å løse oppgavene:

Alfabetet: Anta at bokstavene i det engelske alfabetet (a til z) ordnet i en tilfeldig rekkefølge. (I engelsk er a, e, i, o, og u regnet som vokaler og y som konsonant.)

a) Vis at det må finnes 4 etterfølgende konsonanter.
b) Vis at det ikke nødvendigvis må finnes 5 etterfølgende konsonanter.
c) Vis at dersom alfabetet er ordnet i en sirkel, må det finnes 5 etterfølgende konsonanter.



a)
Vi vet at det er totalt 26 bokstaver i det engelske alfabetet. Totalt 5 av dem er vokaler. Da sitter vi igjen med 21 konsonanter og 5 vokaler.

Vi ser nå på en situasjon der vi får så mange «båser» med konsonanter som mulig.
-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----
Vi ser da at vi har maks 6 båser hvor konsonantene står. Vi ser at [21/6 ]= 3,5. Da vi ikke kan dele opp bokstaver er èn av båsene nødt til å inneholde minst 4 konsonanter. Hvis vi setter noen vokaler inntil hverandre, vil vi få enda færre båser, men vi har fortsatt 21 konsonanter. Hvis det nye tallet på båser er N og N<6 vil [21/N]>3,5. Dermed vil vi uansett få en eller annen bås som har 4 eller flere konsonanter etter hverandre. Ergo: uansett hvilken rekkefølge bokstavene er i så vil vi få minst 4 konsonanter etter hverandre etter eller annet sted.

b)
Er ikke helt sikker på hvordan jeg skal strukturere denne oppgaven. Er det nok å vise et eksempel på at det ikke går an?

I tilfelle:
Hvis vi deler opp vokalene slik at vi har maksimalt antall båser vi kan fordele konsonantene på, får vi 6 båser.
-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----Vokal-----
Vi kan se at vi f.eks kan sette det opp slik: 4k V 4k V 4k V 4k V 4k V 1k, hvor V er vokaler og k er konsonanter. Her ser vi altså at det finnes en mulig kombinasjon hvor fem konsonanter ikke står etter hverandre.

c)
Dersom vokalene står i sirkel får vi maksimalt 5 «båser» - som forekommer når ingen av vokalene står inntil hverandre. Vi kan sette opp [21/5]= 4,2. Dermed må èn av båsene inneholde minst 5 konsonanter. Av samme grunn som i oppgave a vil dette samme skje om noen vokaler står inntil hverandre.

Så, det var mitt første forsøk på bevis. Er dette tilstrekkelige bevis?
Fibonacci92
Abel
Abel
Innlegg: 665
Registrert: 27/01-2007 22:55

Dette ser bra ut:)
Bevisteknikken du bruker blir brukt så ofte at den har fått et eget navn. Den er kjent som bl.a. The Pigeon Hole Principle eller Dirichlet's Box Principle
Svar