Bevis for at 6 går opp i x(x-1)(x+1)

[malef]

Her ser jeg ikke hvordan jeg skal starte. Jeg kan f.eks. si at x=6k eller at x=2k.

I det første tilfellet får jeg [tex]216K^3-6k.[/tex]

I det andre tilfellet får jeg [tex]8k^3-2k.[/tex]

Om x=k, får jeg [tex]k^3-k.[/tex]

Bortsett fra i det siste tilfellet legger jeg merke til at differansen mellom koeffisientene er delelig på 6. Men jeg blir jo ikke kvitt eksponenten? Og da ser jeg heller ikke hvordan jeg kan kvitte meg med k.

Hvordan burde jeg startet her?

[Hoksalon]

Det er ikke nødvendigvis den enkleste måten å angripe problemet på. Du må se på hva som er karakteristisk med akkurat _tre_ etterfølgende tall. Hvorfor gjelder ikke dette for to etterfølgende tall?

[2357]

x=6k

Her antar du at ett av de tre tallene er delelig på 6. Med den antakelsen har du ikke behov for et bevis.

x=k

Her oppnår du ikke ingenting med variabelskiftet. Du kunne like greit skrevet at du fikk [tex]x^3-x[/tex].

[malef]

Med tre etterfølgende tall får man to partall og et oddetall eller to oddetall og et partall. For meg ser det ut til at alle slike kombinasjoner er delelige på 6. Det samme gjelder ikke for to etterfølgende tall, siden det da må bli ett partall og ett oddetall. Er det riktig, og var det det du tenkte på?

[fuglagutt]

Det stemmer forsåvidt det du sier. Men legg vekt på at for at et tall skal kunne være delelig med 6 må det være delelig med 2 og 3. Du har allerede vist (sagt) at du får minst et partall, altså at det er delelig med 2. Det eneste du har igjen er å vise at du også får en faktor 3 i uttrykket

[malef]

Aha. Da er altså det springende punkt at hvert tredje heltall på tallinjen er delelig på 3? Med tre etterfølgende tall er man sikker på at en av dem er delelig på tre.

Men hvordan fører man et slikt bevis?

[fuglagutt]

Det stemmer!

Jeg vil anbefale deg å lese litt om moduloregning. Det omhandler resten når du deler et tall.

Vi vet at x enten gir 0, 1 eller 2 i rest når du deler det på 3. Vi antar først at x gir 0 i rest. Da vil vi har en faktor 3.

Deretter sjekker vi når x delt på 3 gir 1 i rest. Da vil (x-1) ha en faktor 3. Til slutt sjekker vi når x delt på 3 gir 2 i rest. Da inneholder (x+1) en faktor 3.

Det er da vist at uttrykket x(x-1)(x+1) inneholder en faktor 3. Som du viste i sted inneholder det også faktoren 2, altså vil hele uttrykket være delelig på 6

[malef]

Tusen takk for hjelpen! En ganske enkel løsning på noe som virket helt ubegripelig

[Nebuchadnezzar]

Modulregning er elsk, men er nok noen en ikke lærer før på universitetet. Eventuelt på videregående om en tar x-matematikk.

Det å føre bevis er noe som er veldig viktig å kunne, og noe en bør fokusere på å lære seg skikkelig. Et direkte bevis bør følge en rekke av logiske påstander, som fører frem til hva man vil vise.

[tex]x = y[/tex] og [tex]y = z[/tex] altså er [tex]x = z[/tex].

Vi ønsker å vise at [tex](n-1)n(n+1)[/tex] er delelig på [tex]6[/tex] for alle [tex]n[/tex].
Vi vet at hvert andre tall på tallinjen er delelig på [tex]2[/tex].
Vi vet at hvert tredje tall på tallinjen er delelig på [tex]3[/tex].

[tex](n-1)n(n+1)[/tex] er produktet av tre påfølgende tall på tallinjen.
Siden ett av disse tallene er delelig på [tex]2[/tex] og et av disse er delelig på [tex]3[/tex]
så vil produktet være delelig på [tex]6[/tex].

Stryk det som står under, takk 2357 =)

(Alternativt) Så kan vi anta uten tap av generaltitet anta [tex]n=2k[/tex].
Da vil [tex]n+1 = 3p[/tex]. Slik at

[tex](n-1)n(n+1) = 6kp(n-1)[/tex] som er delelig på [tex]6[/tex]. Et lite induksjonsbevis kommer snart og.

[2357]

(Alternativt) Så kan vi anta uten tap av generaltitet anta [tex]n=2k[/tex].
Da vil [tex]n+1 = 3p[/tex].

Denne overgangen holder ikke. Selv om du sier at [tex]n = 2k[/tex], kan du bare si at ett av tallene [tex]n - 1[/tex], [tex]n[/tex] og [tex]n + 1[/tex] er delelige på tre, og da er du plutselig tilbake til det gamle argumentet.

[Nebuchadnezzar]

Har forklart induksjon før, så du kan jo bare søke i forumet. Eller på nett.
Kort sagt

1) Vis at det stemmer for en spesifikk verdi (gjerne n=1, men ikke nødvendigvis)
2) Anta at det stemmer for en tilfeldig verdi [tex]n=k[/tex].
3) Vis at dersom det stemmer for [tex]n=k[/tex] så stemmer det for [tex]n=k+1[/tex].

1) Velger å vise at det stemmer for [tex]n=1[/tex]. Da har vi 0/6 = 0. Slik at vi vet at [tex]n(n-1)(n+1)[/tex] er delelig på [tex]6[/tex] når [tex]n = 1[/tex].

2) Vi antar at [tex]k(k-1)(k+1)[/tex] er delelig på [tex]6[/tex].

3) Vi ønsker å vise at dersom 2) er delelig på [tex]6[/tex]. Så er

[tex](k+[1])(k-1+[1])(k+1+[1])=(k+1)(k)(k+2)[/tex]

delelig på [tex]6[/tex].

[tex](k+1)k(k+2) = (k+1)k(k-1+3) = k(k-1)(k+1) + 3k(k+1)[/tex]

Vi vet at den første parentesen er delelig på 6. Det følger fra 2) nå gjenstår det bare å vise at siste parentes og er delelig på [tex]6[/tex]. Men det overlater jeg til deg som en øvelse

2357, skal fikse litt på argumentet. Det er samme beviset, men jeg ønsker å presentere det til Malef med både ord og algebra =)

[malef]

Tusen takk! Må i bingen her nå, men ser frem til å jobbe med øvelsen i morgen

[malef]

Dessverre strekker ikke algebraen min til her. Ser ikke hvordan jeg skal få inn et ekstra ledd.

[malef]

Dessverre strekker ikke algebraen min til her. Ser ikke hvordan jeg skal få inn et ekstra ledd.