Hei! Skal bevise at denne formelen er rettt
(2n-1)(2n)(2n+1) :6 (kan ikke å skrive brøk i forumet...)
For n= k: 1+9+25+49+...+(2k+1) [sup]2[/sup]=(2k-1)(2k)(2k+1) :6
For n=k+1:
V.S: 1+9+25+49+...+(2k-1)[sup]2[/sup] + (2k+1)[sup]2[/sup]H.S: (2k+1)-1)(2k+1)((2k+1)+1)= (2k)(2k+1)(2k+2) :6
Så hvis jeg har forstått dette rett så skal det vises at det over er lik:
(2k-1)(2k)(2k+1) :6 +(2k+1)
Men så kommer jeg ikke noe lenger...
Håper dere skjønner sammenhengen her selv om jeg ikke kan å skrive med brøk her inne... Håper på litt hjelp
Hjelp til induksjonsbevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Formelen er faktisk riktig. Forskjellen er bare at han summerer til [tex](2n-1)^2[/tex] i stedet for til [tex](2n+1)^2[/tex]. Ser bare ut som en slurvefeil i den første posten.
Vi vil vise at [tex]\sum_{j = 1}^n (2j - 1)^2 = \frac{2n (2n - 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n (2n - 1)(2n + 1)}{3}[/tex]
Det er lett å se at uttrykket stemmer for [tex]n = 1[/tex].
Vi antar så at formelen er riktig for [tex]n = k[/tex], altså
[tex]1 + 9 + \cdots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}[/tex].
Vi ønsker å vise at det medfører at formelen også stemmer for [tex]n = k + 1[/tex]. Da skal
[tex]\begin{align} \sum_{j = 1}^{k + 1} (2j - 1)^2 &= \frac{(k +1) (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)}{6} \\ &= \frac{(k + 1) (2k + 1)(2k + 3)}{3} \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align}[/tex]
Fra induksjonshypotensen gjelder
[tex]\begin{align}1 + 9 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 &= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k + 1)^2 \\ &= (2k + 1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} +2k + 1\right) \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align} [/tex]
som var det vi skulle vise.
Det er lett å se at uttrykket stemmer for [tex]n = 1[/tex].
Vi antar så at formelen er riktig for [tex]n = k[/tex], altså
[tex]1 + 9 + \cdots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}[/tex].
Vi ønsker å vise at det medfører at formelen også stemmer for [tex]n = k + 1[/tex]. Da skal
[tex]\begin{align} \sum_{j = 1}^{k + 1} (2j - 1)^2 &= \frac{(k +1) (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)}{6} \\ &= \frac{(k + 1) (2k + 1)(2k + 3)}{3} \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align}[/tex]
Fra induksjonshypotensen gjelder
[tex]\begin{align}1 + 9 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 &= \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k + 1)^2 \\ &= (2k + 1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} +2k + 1\right) \\ &= (2k + 1) \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \end{align} [/tex]
som var det vi skulle vise.
Hei!
Og tusen takk for svar.
Kanksje noen dumme spørsmål jeg stiller nå, men for meg så kan det se ut som om det er lettere å se at det stemmer for den neste i rekka når den blir seende ut slik som du skriver i andre linje under der du viser at formelen stemmer for n=k+1. Altså: (k+1)(2k+1)(2k+3) :3
Hvordan vet du hvor langt du skal faktorisere, og hvilken form du vil ha formelen på? Kan vi si at den stemmer for n=k+1 fordi du kommer frem til det samme uttrykket i siste linje under induksjonshypotesen og siste linje der du viser at den stemmer for n=k+1. Synes dette med induksjonsbevis var komplisert..
Men det er likevel litt klarere da
Forresten hvordan får dere til å skrive inn brøk o.l i forumet?
Og tusen takk for svar.
Kanksje noen dumme spørsmål jeg stiller nå, men for meg så kan det se ut som om det er lettere å se at det stemmer for den neste i rekka når den blir seende ut slik som du skriver i andre linje under der du viser at formelen stemmer for n=k+1. Altså: (k+1)(2k+1)(2k+3) :3
Hvordan vet du hvor langt du skal faktorisere, og hvilken form du vil ha formelen på? Kan vi si at den stemmer for n=k+1 fordi du kommer frem til det samme uttrykket i siste linje under induksjonshypotesen og siste linje der du viser at den stemmer for n=k+1. Synes dette med induksjonsbevis var komplisert..
Men det er likevel litt klarere da
Forresten hvordan får dere til å skrive inn brøk o.l i forumet?
Jeg synes dette er et godt spørsmål, for den opprinnelige planen min var nettopp å skrive alt på faktorisert form, men underveis syntes jeg at det var enklere/mer rett fram å skrive [tex]\frac{k(2k -1)}{3} + 2k + 1[/tex] helt ut, enn å faktorisere det. Dermed gikk jeg tilbake til det jeg hadde allerede skrevet og la til et skritt til der jeg regnet ut to av parantesene. Så svaret blir vel noe à la "ta det som det kommer".lenovo skrev:Hvordan vet du hvor langt du skal faktorisere, og hvilken form du vil ha formelen på?
Ja. Gitt at formelen stemmer for [tex]n = k[/tex] forventer/får vi et visst uttrykk for [tex]n = k + 1[/tex]. Siden vi klarer å vise at dette er i overensstemmelse med det vi får dersom vi stapper inn [tex]n = k + 1[/tex] i det generelle uttrykket, ser vi at formelen stemmer for [tex]n = k + 1[/tex] også.lenovo skrev:Kan vi si at den stemmer for n=k+1 fordi du kommer frem til det samme uttrykket i siste linje under induksjonshypotesen og siste linje der du viser at den stemmer for n=k+1?
Hvis du siterer de aktuelle innleggene, kan du se nøyaktig hvordan de bestemte formlene er skrevet. For en billedlig innføring i [tex]\TeX[/tex] kan du se her.lenovo skrev: Forresten hvordan får dere til å skrive inn brøk o.l i forumet?