bevis for derivering av polynomer

[gill]

Jeg lurte på om det fantes bevis for derivering av polynomer. Har gjort et lite forsøk ut fra definisjon selv men kommer ingen vei:

[tex]f(x)=x^n[/tex]

Vi har at

[tex]f(x)=x^n[/tex] og [tex]f(x+h)=(x+h)^n[/tex]

for å finne stigningstallet når h går mot 0 får vi stigninstallet i et instant og vi kan skrive:

[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^n-x^n}{h}[/tex]

men her kommer jeg ingen vei. Denne fremgangsmåten fungere for eks for
[tex]f(x)=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}[/tex]

[tex]\frac{\frac{x}{x^2+xh}-\frac{x+h}{x^2+hx}}{h}[/tex]

[tex]\frac{-\frac{h}{x^2+hx}}{h}[/tex]

når h går mot 0 får vi

[tex]-\frac{1}{x^2}[/tex]

men i det første eksemplet er jeg usikker på hvordan jeg går fram for å få en nevner som ikke bare består av h.

[Markonan]

Du kan bruke binomialteoremet i nevneren.

[tex](x+h)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{n-k}h^k[/tex]

Skriv ut hele summen og se om du kommer videre.

Videre tips er:
[tex]{n\choose 0} = 1[/tex]

[tex]{n\choose 1} = n[/tex]

og de andre trenger du ikke mer nøyaktig uttrykk for.

[gill]

Dette høres veldig spennende ut. Jeg skal prøve å få lesingen min til å gå opp slik at jeg kan gjøre et forsøk på å benytte teoremet du nevner. Men jeg har bare i tillegg et spørsmål om måten som de beviser det i boka som jeg kom til nå.

http://bildr.no/view/917269

Hvordan kommer de fram til formelen som

Proof of the positive integer Power rule begynner med. Og hvorfor har den n ledd? Ser at når z går mot x så blir de som står der alle x opphøyd i n -1 men ikke at det er n ledd.

[Markonan]

Den formelen kan utledes med polynomdivisjon.

For n=2 har du jo bare konjugatsetningen.
[tex]z^2 - x^2 = (z-x)(z+x)[/tex]

For n=3 kan du vise med polynomdivisjon at
[tex]z^3 - x^3 = (z-x)(z^2 + zx + x^2)[/tex]

Deretter er det ikke så vanskelig å se hvordan de kommer frem til den formelen de bruker. I uttrykket ser du på f.eks x'ene at du har x[sup]0[/sup] i det første leddet, og det går opp til x[sup]n-1[/sup], som betyr at det er n ledd.

[gill]

Skal vi se dette ble min framgangsmåte for polynomdivisjon

Når jeg utfører polynomdivisjon på [tex]z^3-x^3[/tex] etter at jeg har antatt at (z-x) er faktor får jeg:

Først vil jeg fjerne [tex]z^3[/tex] og ganger felles faktor med [tex]z^2[/tex]

og trekker altså fra [tex](z-x)z^2[/tex]



[tex]z^3-x^3[/tex] quotient [tex](z-x)z^2[/tex]

[tex]-(z^3-xz^2)[/tex]

[tex]-x^3+xz^2[/tex]

Rest som altså må trekkes fra blir [tex]-x^3+xz^2[/tex]

vi ganger felles faktor (z-x) med [tex]x^2[/tex]
Vi trekker da fra dette for å prøve å få 0 rest

[tex]z^3-x^3[/tex] quotient [tex](z-x)z^2+(z-x)x^2[/tex]

[tex]-(z^3-xz^2)[/tex]

[tex]-x^3+xz^2[/tex]

[tex]-(zx^2-x^3)[/tex]

[tex]xz^2-zx^2[/tex]

trekker fra felles faktor ganget med xz som blir:


[tex](z-x)xz=xz^2-zx^2[/tex]

[tex]z^3-x^3[/tex] quotient [tex](z-x)z^2+(z-x)x^2+(z-x)xz[/tex]

[tex]-(z^3-xz^2)[/tex]

[tex]-x^3+xz^2[/tex]

[tex]-(zx^2-x^3)[/tex]

[tex]xz^2-zx^2[/tex]

[tex]-(xz^2-zx^2)[/tex]

0


0 rest da skal quotient være lik opprinnelig uttrykk:

[tex]z^3-x^3=(z-x)z^2+(z-x)x^2+(z-x)xz=(z-x)(x^2+z^2+xz)[/tex]


Men dette uttrykket er ikke det samme som ditt. Jeg synes uttrykket i boka er vanskelig å tyde, når stopper man å trekke fra tall fra potensen n. Er det når potensen er 2 1 eller 0? Hvorfor blir det 1 som det ser ut som du skriver (hvis jeg ikke har skjømt feil)?

[tex](z-x)xz=xz^2-zx^2[/tex]

[Markonan]

Hmm, tror du må se over polynomdivisjonen din.
[tex]z^3 - x^3 : (z-x)[/tex]

Min utregning for polynomdivisjonen:
[tex]\begin{matrix} & z^3 & & & & & - & x^3 & : & (z & - & x) & \;=\; & z^2 & + & zx & + & x^2 \\ -&(z^3 & - & z^2x) && & & & & & & & & & & & &\\ & & & z^2x & & & - & x^3 & & & & & & & & & &\\ & & -& (z^2x& - &zx^2) && & & & & & & & & & &\\ & & & & & zx^2 & - & x^3 & & & & & & & & & &\\ & & & & -&(zx^2 & - & x^3) & & & & & & & & & &\\ & & & & & & & 0 & & & & & & & & & &\end{matrix}[/tex]

Så:
z[sup]3[/sup] - x[sup]3[/sup] = (z - x)(z[sup]2[/sup] + zx + x[sup]2[/sup])
som kan sjekkes ved å gange ut parentesene på høyresiden.

Med polynomdivisjon kan du også regne ut de neste restultatene (men det blir ganske lange regnestykker etterhvert). Det beste er kanskje å bare gange ut parentesene på høyresiden for å se at det stemmer.

[tex]z^4 - x^4 = (z-x)(z^3 + z^2x + zx^2 + x^3)[/tex]

[tex]z^5 - x^5 = (z-x)(z^4 + z^3x + z^2x^2 + zx^3 + x^4)[/tex]

[tex]z^6 - x^6 = (z-x)(z^5 + z^4x + z^3x^2 + z^2x^3 + zx^4 + x^5)[/tex]

Og den generelle formen blir:
[tex]z^n - x^n = (z-x)(z^{n-1} + z^{n-2}x + z^{n-3}x^2 + \ldots + z^2x^{n-3} + zx^{n-2} + x^{n-1})[/tex]
som man kan se fra uttrykkene over.

På en måte så går z'ene fra n-1 til 0 mens x'ene går fra 0 til n-1. Sånn:
[tex]z^n - x^n = (z-x)(z^{n-1}x^0 + z^{n-2}x + z^{n-3}x^2 + \ldots + z^2x^{n-3} + zx^{n-2} + z^0x^{n-1})[/tex]

Forhåpentligvis ble det litt klarere nå.

[gill]

Ja. Jeg tenkte i hvert fall riktig angående polynomdivisjon trur eg men regnet feil. Men har rettet det opp nå. Takk skal du ha! Jeg er med på notene nå tror jeg

[Magnus]

Bruk produktregelen og induksjon! [tex]x^{n+1} = x\cdot x^n[/tex].

[gill]

gjenopptar en gammel tråd jeg fordi jeg lurte på om et var mulig å bevise dette generel ikke bare ved å sette inn for forskjellige n. Med induksjon hva utfører du induksjon på. Er det

[tex]z^n-x^n=(z-x)(z^{n-1}x^0+z^{n-2}x+z^{n-3}x^2+...+zx^{n-2}+z^0x^{n-1})[/tex]

man utfører induksjon på?

[Vektormannen]

Nei, han mener nok å bruke produktregelen og induksjon for å vise at [tex](x^n)^\prime = nx^{n-1}[/tex]. Altså et bevis som ikke involverer å faktorisere og bruke binomialteoremet.

For å vise det ved induksjon så må du vise at [tex](x^1)^\prime = 1x^0[/tex], altså at det stemmer for n = 1. Så må du anta at det stemmer for en tilfeldig eksponent n = k. Du antar altså da at [tex](x^k)^\prime = kx^{k-1}[/tex]. Det du da må gjøre er å vise at ved å gjøre denne antagelsen så vil derivasjonsformelen også gjelde for neste eksponent n = k+1, dvs at [tex](x^{k+1})^\prime = (k+1)x^{k}[/tex].

[gill]

Du kan bruke binomialteoremet i nevneren.

[tex](x+h)^n = \sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{n-k}h^k[/tex]

Skriv ut hele summen og se om du kommer videre.

Videre tips er:
[tex]{n\choose 0} = 1[/tex]

[tex]{n\choose 1} = n[/tex]

og de andre trenger du ikke mer nøyaktig uttrykk for.

kan du bruke binominalteoremet til å bevise derivering av polynomer generelt? Hadde hjulpet meg mye kanskje hvis det var sånn

[drgz]

Tror ikke du kommer noen vei uten induksjon her.

[Markonan]

Det er mulig å bruke binomialteoremet og definisjonen til derivasjon for å utlede en regel for derivering av generelle polynomer.. men det blir et veldig omfattende bevis!

Det er egentlig litt unødvendig også, fordi det går mye raskere å bevise derivasjon av generelle polynomer ved å bruke regelen for derivering av x[sup]n[/sup] på hvert ledd.

[gill]

Jeg lurer bare på en ting skjønner du i dette innlegget:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=30346

Hvis du kunne se på det andre innlegget mitt. Der stopper det opp med power rule for derivering siden de tar utgangspunkt i logregler som er det jeg skal bevise ved blant annet power rule. Hvis det finnes et annet bevis vil jeg veldig gjerne vite det selvfølgelig så vil jeg gjerne at beviset enkelt som muig men et bevis er jo mye bedre enn ikke et bevis:) (altså hvis forsøk med binomialteoremet er det som skal til vil jeg gjerne gjøre et forsøk)

Si i fra hvis du har link eller introduksjon for bevis derivering av polynomer som ikke er på typen som er i innlegget jeg har linket til hvor de benytter seg av log rule for da får jeg ikke bevist log regelen ordentlig (står forklart dette problemet i det andre innlegget i linken over)

[Kork]

http://home.no/sd7/derivasjon kanskje dette hjelper