matematikk.net

Et lite bevis som jeg kom på, men usikker på om mitt resonnement er riktig.

Anta at [tex]\sqrt{3}[/tex] er rasjonell. Da har vi at:

[tex]\sqrt{3}=\frac{p}{q}[/tex],
hvor [tex]p, q\in Z[/tex]

Deretter:

[tex]3=\frac{p^2}{q^2}[/tex]

[tex]1=\frac{p^2}{3q^2}[/tex]

Siden det ikke fins et set med [tex]p,q[/tex] som tilfredsstiller likningen over betyr det at [tex]\sqrt{3}[/tex] er et irrasjonelt tall.

Blir dette riktig?

Annet enn at det skal være [tex]1=\frac{3p^2}{q^2}[/tex] ledd #3, mener jeg det er riktig

Eg vil diverre ikkje seie at det er trivielt og seie at det ikkje eksisterer eit par [tex]p,q \in \mathbb{Z}[/tex] s.a. likninga er oppfylt. (sjølv om det i dette tilfellet er openbart at det ikkje eksisterer slike tal, er det ikkje stringent nok i mine auge) Du må og anta at p og q er maksimalt forkorta, dvs at [tex]gcd(p,q)=1[/tex].

Klarar du no og vise at 3 må vere ein faktor i både p og q? Dersom den er det så vil det jo stride med antakinga di om at p og q er maksimalt forkorta. Hugs at

[tex] 3 = \frac{p^2}{q^2} \Leftrightarrow p^2 = 3q^2 [/tex]
Kva kan du no seie om [tex]p^2[/tex] basert på hintet ovanfor?