matematikk.net

1. Bevis ved matematisk induksjon at [tex]1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2[/tex].

Formelen stemmer for n=1: 1^3=1^2. Deretter antar vi at formelen gjelder for n, og setter inn n+1:

[tex]1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3[/tex] Hvordan skal jeg vise at dette uttrykket er likt [tex](1+2+...+n+(n+1))^2[/tex] ?


2. Bevis ved matematisk induksjon at [tex]1-4+9-16+...+(-1)^{n-1} \cdot n^2=(-1)^{n-1} \cdot (1+2+...+n)[/tex].

Her kom jeg rett og slett ingen vei på egenhånd, så kan noen hjelpe meg i gang?

En måte å gjøre det på er og skrive om litt:

[tex]\big(1 + 2 + \ldots + n\big)^2 + (n+1)^3 \;=\; \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3[/tex]

På høyresiden
[tex]\big(1 + 2 + \ldots + n + (n+1)\big)^2\;=\; \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2[/tex]

På denne formen blir det straks litt enklere.

Den er grei

Tusen takk for hjelpen!

Nwoen som vil svare på oppgave 2?

Skrev en liten feil i forrige innlegg, men ser ut til at det gikk bra for det.

Etter å ha sjekket så antar man:
[tex]1 - 4 + \ldots + (-1)^{n-1}\cdot n^2 \;=\; (-1)^{n-1}(1+\ldots+n)[/tex]

Du skal da vise:
[tex]1 - 4 + \ldots + (-1)^{n-1}\cdot n^2 + (-1)^n\cdot(n+1)^2 \;=\; (-1)^{n-1}\big(1+\ldots+n + (n+1)\big)[/tex]

Bruker antagelsen:
[tex](-1)^{n-1}(1+\ldots+n) + (-1)^n\cdot(n+1)^2 \;=\; (-1)^{n-1}\big(1+\ldots+n + (n+1)\big)[/tex]

For å bli kvitt (-1)-potensene, deler du dette opp i to tilfeller, også bruker du summeformelen som i forrige oppgave.

Tilfelle 1: (-1)[sup]n-1[/sup] = 1, (-1)[sup]n[/sup] = -1.

etc.

Okay?

Så det skulle være (x+1) og ikke (x+1)^2, derfor gikk det fint

et par spørsmål ang. det du skrev om:

1. tilfelle: [tex](-1)^{n-1}=1[/tex] og [tex](-1)^n=-1[/tex].

da blir vel 2. tilfelle: [tex](-1)^{n-1}=-1[/tex] og [tex][tex][/tex](-1)^n=1[tex][tex][/tex] ?

Grunnen til at vi må gjøre slik er vel at vi ikke vet om n er par- eller oddetall?

SÅ får vi se om jeg klarer bruke det til noe

Ja, det er riktig. Uansett hvilken n du ser på, så havner du i et av de tilfellene. Så om du kan vise likheten i begge tilfellene har du på en måte dekket alle muligheter. Det gjør utledningen litt enklere når man slipper (-1)^n-leddet.