Oppgave fra Munkres' "Topology":
Vis at hvis [tex]\mathscr A[/tex] er en basis for en topologi på en mengde [tex]X[/tex], er topologien generert av [tex]\mathscr A[/tex] lik snittet av alle topologier på [tex]X[/tex] som inneholder [tex]\mathscr A[/tex].
Har prøvd:
La [tex]\left{\mathcal{T}_{\alpha}\right}[/tex] betegne mengden topologier som inneholder basisen, og la [tex] \mathcal{T}_{\mathscr A}[/tex] betegne topologien generert av basisen.
Bevis for at [tex]\bigcap \mathcal{T}_{\alpha}\subset \mathcal{T}_{\mathscr A}[/tex]: Følger da [tex]\mathscr A \subset \mathcal{T}_{\mathscr A}[/tex].
Bevis for at [tex]\mathcal{T}_{\mathscr A} \subset \bigcap \mathcal{T}_{\alpha}[/tex]: La [tex]U\in \mathcal{T}_{\mathscr A}[/tex]. Da kan vi for enhver [tex]x\in U[/tex] finne et basiselement [tex]A\in \mathscr A[/tex] slik at [tex]x\in A_x \subset U[/tex], så [tex]U=\bigcup_{x\in U}A_x[/tex]. Men da må [tex]U\in \bigcap \mathcal{T}_{\alpha}[/tex], så [tex]\mathcal{T}_{\mathscr A} \subset \bigcap \mathcal{T}_{\alpha}[/tex].
Holder dette mål? Er det evt mulig å bruke lemma 13.3 i Munkres, som sier at [tex]\mathcal{T}^\prime[/tex] er ekte finere enn [tex]\mathcal T[/tex], hvis og bare hvis det for hver [tex]x \in X[/tex] og for ethvert basiselement [tex]B\in \mathscr B[/tex] som inneholder [tex]x[/tex], finnes et basiselement [tex]B^\prime \in \mathscr{B}^\prime [/tex] slik at [tex]x \in B^\prime \subset B[/tex], der [tex]\mathcal T[/tex] og [tex]\mathcal{T}^\prime[/tex] betegner to topologier, og [tex]\mathscr B[/tex] og [tex]\mathscr{B}^\prime[/tex] henholdsvis betegner baser for de to topologiene.
Takk for svar
