Vis at:
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
for alle positive heltall[tex]a,b,c[/tex]
Mitt bevis:
Vi har at:
[tex](a+b+c)^2{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc{\ge}0[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2ab-2ac-2bc[/tex]
[tex]a^2+b^2+c^2{\ge}-2(ab+ac+bc)[/tex]
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)[/tex]
Siden vi har at:
[tex]2{\g}-1[/tex]
Kan vi gjøre følgende:
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*2}{2}{\ge}-(ab+ac+bc)*(-1)[/tex]
[tex]\frac{(a^2+b^2+c^2)*\not{2}}{\not{2}}{\ge}(ab+ac+bc)[/tex]
Endelig har vi:
[tex]a^2+b^2+c^2 {\ge} ab+bc+ca[/tex]
[tex]Q.E.D.[/tex]
Det jeg lurer på er om jeg kan bruke [tex]2{\g}-1[/tex] for å kvitte meg med totallet på venstre side og det negative på høyre side.
Takk.
Riktig bevis?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
edit: Hm, glem dette.
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Jeg tror du kommer lettere i havn om du bruker at [tex](a-b-c)^2 \geq 0[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Du kan dessverre ikke gjøre den forkortingen, nei, og om du legger merke til at likhet holder i den originale ulikheten når a=b=c, mens Vektormannens foreslåtte ulikhet ikke har dette tror jeg ikke dette kommer til å føre fram heller. Det du dog kan gjøre er å først vise ulikheten [tex]a^2+b^2 \geq 2ab[/tex] og se litt på denne.