Bevis for alternativ definisjon av Zeta-funksjonen.

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Bevis for alternativ definisjon av Zeta-funksjonen.

Innlegg edahl » 21/06-2009 20:57

EDIT n millioner:
Beviset er i noen innlegg under. Uff, dette ble en rotete tråd fra min side :oops:
Sist endret av edahl den 23/06-2009 23:14, endret 5 ganger.
edahl offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Innlegg Charlatan » 22/06-2009 18:44

Du kan nok ikke induktere mhp n her. n går mot uendelig når man trekker grensen så det gir ingen mening å anta at grenseverdien stemmer for en gitt n. Induksjonsvariabelen du eventuelt må bruke er s.
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg edahl » 22/06-2009 18:55

Charlatan skrev:Du kan nok ikke induktere mhp n her. n går mot uendelig når man trekker grensen så det gir ingen mening å anta at grenseverdien stemmer for en gitt n. Induksjonsvariabelen du eventuelt må bruke er s.


Pokker. Tenkte meg noe slikt. Vil det si at du ikke kan ta grensen på naturlige tall at all? Hvis en kan jeg si at
[tex]\zeta(s)=\lim_{n\to\infty}\sum_{t=1}^n t^s,[/tex]
og så vise at
[tex]\sum_{t=1}^n k^{-s}=\frac{a_n}{n!^s},[/tex]
så må vel også grenseverdien være den samme?

EDIT:
Det jeg har kommet frem til er forøvrig at
[tex]\zeta(s)=\lim_{n\to\infty} n!^{-s}\sum_{k=0}^{n-1}\left(k!n^{\underline{n-k-1}}\right)^s[/tex]
edahl offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Innlegg Charlatan » 22/06-2009 19:51

Pokker. Tenkte meg noe slikt. Vil det si at du ikke kan ta grensen på naturlige tall at all? Hvis en kan jeg si at
[tex]\zeta(s)=\lim_{n\to\infty}\sum_{t=1}^n t^s,[/tex]
og så vise at
[tex]\sum_{t=1}^n k^{-s}=\frac{a_n}{n!^s},[/tex]
så må vel også grenseverdien være den samme?


Ja, det stemmer.
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg edahl » 22/06-2009 21:22

EDIT:
Her er hele skiten. Beklager at det er på engelsk, men jeg skrev det på engelsk og da ble det slik. Ja, også var det slik at jeg setter pris på både stor og liten pirking og omvelting :-)

Let's first look at the recurrence
[tex]\{a_n\};& \\a_1=1;& \\a_n=n^{s}a_{n-1}+(n-1)!^s&.[/tex]
Then
[tex]\zeta(s)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n!^s}.[/tex]
\begin{proof}To show that this is correct, we first prove that [tex]\sum_{k=1}^nk^{-s}=a_n.[/tex]
We do this by induction: Assume this proposition is true for all [tex]1,\dots,n.[/tex] We try for [tex]n \rightarrow n+1[/tex] and find
[tex]\sum_{1 \leq k \leq n}k^{-s}+\frac{1}{(n+1)^{s}}=\frac{a_n}{n!^s}+\frac{1}{(n+1)^{s}}\\=\frac{(n+1)!^sa_n+n!^s}{(n+1)!^s}\\=\frac{a_{n+1}}{(n+1)!^s}[/tex]
Now, since the two expressions are equivalent, and [tex]\zeta(s)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nk^{-s},[/tex] we can conclude that [tex]\zeta(s)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{n!^s}.[/tex]
\end{proof}

Now, we will want to find a solution to [tex]\{a_n\}[/tex], and we shall show that
[tex]\sum_{0\leq k < n} \left(k!n^{\underline{n-k-1}}\right)^s,[/tex]
is a solution to the recurrence where [tex]n^{\underline m}\equiv n(n-1)\dots(n-m+1), n^{\underline 0}=1.[/tex]
By subsitution the identity then becomes
[tex]\zeta(s)=\lim_{n\to\infty} n!^{-s}\sum_{0\leq k < n}\left(k!n^{\underline{n-k-1}}\right)^s.[/tex]

\begin{proof}To show that this is indeed the Riemann-[tex]\zeta[/tex] function, let us calculate its difference with respect to [tex]n.[/tex] In other words, we let
[tex]f(n)=\sum_{0\leq k < n} \left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s.[/tex]
Here the constant term (with regards to the sum) is absorved for clarity. The difference of [tex]f,[/tex] written [tex]\Delta f,[/tex] is defined to be [tex]f(n+1)-f(n).[/tex] We have
[tex]\Delta f = \sum_{0\leq k < n+1} \left(\frac{k!(n+1)^{\underline{n-k}}}{(n+1)!}\right)^s-\sum_{0\leq k < n} \left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s\\=\left(\frac{n!(n+1)^{\underline{\cancel{n-n}}}}{(n+1)!}\right)^s+\sum_{0\leq k < n} \left(\frac{\cancel{(n+1)}k!n^{\underline{n-k-1}}}{\cancel{(n+1)}n!}\right)^s -\sum_{0\leq k < n} \left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s\\=(n+1)^{-s}+\cancel{\sum_{0\leq k < n} \left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s -\sum_{0\leq k < n}\left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s},[/tex]
which is conclusive because there is no independent constant term in either representation of [tex]\zeta.[/tex] That is, there is no term [tex]C \neq 0[/tex] so that
[tex]\lim_{h\to0} f(x+h)-f(x)=C. [/tex] Wait a minute, I don't think this last part makes much sense. Then I'm not sure how to filter out any constants.
\end{proof}
Sist endret av edahl den 24/06-2009 10:34, endret 2 ganger.
edahl offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Innlegg Markonan » 24/06-2009 10:46

Verbformen til induksjon blir forresten å indusere. :)
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Markonan offline
Euclid
Euclid
Brukerens avatar
Innlegg: 2133
Registrert: 24/11-2006 19:26
Bosted: Oslo

Innlegg edahl » 24/06-2009 13:32

Markonan skrev:Verbformen til induksjon blir forresten å indusere. :)


Heh, det har jeg ikke tenkt på før så jeg har faktisk aldri brukt det for 'induksjon' :-P

Men holder beviset da? :P
edahl offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Innlegg edahl » 24/06-2009 14:49

edahl skrev:
Markonan skrev:Verbformen til induksjon blir forresten å indusere. :)


Heh, det har jeg ikke tenkt på før så jeg har faktisk aldri brukt det for 'induksjon' :-P

Men holder beviset da? :P


Vent litt! Jeg har et skikkelig og algebraisk bevis for identiteten nå:
Observer at [tex]\frac{m!}{n!}=n!^{\underline{n-m}},\text{for n < m}[/tex] og at [tex]n^{\underline{n-k-1}} = \frac{(k+1)!}{n!}[/tex]
Dermed er
[tex]\lim_{n\to\infty}\sum_{0\leq k < n}\left(\frac{k!n^{\underline{n-k-1}}}{n!}\right)^s = \lim_{n\to\infty} \sum_{0 \leq k < n}\left(\frac{ \frac{\cancel{k!}(k+1)} {\cancel{k!}\cancel{n!}} }{\cancel{n!}}\right)^s = \lim_{n\to\infty}\sum_{0 \leq k < n}\left(\frac{1}{k+1}\right)^s=\lim_{n\to\infty}\sum_{1 \leq k \leq n} \left( \frac{1}{k} \right)^s = \zeta(s).[/tex]
Hvis DEN ikke holder vet jeg ikke hva gjør :-)

EDIT: Tråd nr. 100 ..!
edahl offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 23/12-2008 19:32

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 3 gjester