Usikker på om dette beviset holder:Let x be a real number such that [tex]x+x^{-1}[/tex] is an integer. Prove that [tex]x^n+x^{-n}[/tex] is an integer, for all positive integers n.
For n=1 holder påstanden per definisjon. Antar den stemmer videre for alle n opp til [tex]n=k-1[/tex]. Skal vise at dette medfører at det stemmer for [tex]n=k[/tex].
[tex]c_{k-1} = x^{k-1}+x^{-(k-1)}=\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}[/tex]
La oss gange denne med [tex]c_1[/tex] (som vi jo vet er et heltall):
[tex]c_{k-1}c_1 =\frac{x^{2k-2}+1}{x^{k-1}}\cdot \frac{x^2+1}{x}=\frac{x^{2k}+x^{2k-2}+x^2+1}{x^k}=\frac{x^{2k}+1}{x^k}+\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k}[/tex]
Den første delen av summen ovenfor er jo [tex]c_k[/tex]. Nå holder det å forklare at den andre delen må være et heltall. Vi forkorter:
[tex]\frac{x^{2k-2}+x^2}{x^k} = x^{k-2}+x^{-(k-2)}[/tex]
Fra induksjonshypotesen ser vi at dette også må være et heltall, og dermed er også [tex]c_k[/tex] et heltall.
Påstanden er bevist.
- - -
Spørsmålet mitt er så; holder beviset?
)