Er det noe galt med beviset?

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Mattelæreren min sier at det er noe galt med dette beviset, og at det ikke holder rent matematisk. Hva mener dere?

Bevis: Grenseverdien til e vha. [tex]\frac{d}{dx}e^x=e^x[/tex].

[tex]e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\frac{e^h-1}{h} \\ 1=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0}h=\lim_{h\to 0}e^h-1 \\ \lim_{h\to 0}e^h=\lim_{h\to 0}h+1 \\ e=\lim_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\frac 1h}=\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac 1h\right)^h[/tex]

Han sier at jeg foretar noen grove forutsetningen i linjene 3-5 som gjør at beviset ikke holder rent matematisk, og at man egentlig ikke kan gjøre det jeg gjør der.


Ser dere noe galt?

Takk for all hjelp.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Du sier du har at [tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex]

Men det er for eksempel også sant at [tex]\lim_{h \to 0} 2h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex] fordi begge grenseverdiene er [tex]0[/tex]. Dette fører til (ved å bruke dine utregninger) at [tex]e= \lim_{h \to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex] som ikke er riktig. Da er det noe som ikke stemmer et sted. Feilene ligger i linje 3, 5 og 6.
Emilga
Riemann
Riemann
Innlegg: 1552
Registrert: 20/12-2006 19:21
Sted: NTNU

Jeg antar at det er samme type feil/antakelse som gjør at jeg ikke har lov til å gjøre dette:

[tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0} \ln(h + 1)[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0}e^h = \lim_{h \to 0} h + 1[/tex]

[tex]\lim_{h \to 0} e^h - 1 = \lim_{h \to 0} h[/tex] (<--- der var den, ja)

[tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex]
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Jarle10 skrev:Du sier du har at [tex]\lim_{h \to 0} h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex]

Men det er for eksempel også sant at [tex]\lim_{h \to 0} 2h = \lim_{h \to 0}=e^h-1[/tex] fordi begge grenseverdiene er [tex]0[/tex]. Dette fører til (ved å bruke dine utregninger) at [tex]e= \lim_{h \to 0} (1+2h)^{\frac{1}{h}}[/tex] som ikke er riktig. Da er det noe som ikke stemmer et sted. Feilene ligger i linje 3, 5 og 6.
Ja, jeg skjønner, men er det egentlig relevant i dette beviset? Hvis jeg skulle ha bruke 2h, måtte jeg jo ha +h på den andre siden av likhetstenget også, siden jeg tar utgangspunkt i definisjonen på den deriverte?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Poenget er at verdiene er like og det er derfor ikke noen grunn til å foretrekke den ene framfor den andre.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Man må bruke den formelle epsilon-delta- definisjonen av grenser for å gjøre beviset formelt riktig, trur jeg. På den måten etterlates ingen tvil som illustrert over av jarle10 i forhold til definisjonen av e.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

espen180 skrev:Mattelæreren min sier at det er noe galt med dette beviset, og at det ikke holder rent matematisk. Hva mener dere?

Bevis: Grenseverdien til e vha. [tex]\frac{d}{dx}e^x=e^x[/tex].

[tex]e^x=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\lim_{h\to 0}e^x\frac{e^h-1}{h} \\ 1=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0}h=\lim_{h\to 0}e^h-1 \\ \lim_{h\to 0}e^h=\lim_{h\to 0}h+1 \\ e=\lim_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\frac 1h}=\lim_{h\to \infty} \left(1+\frac 1h\right)^h[/tex]

Han sier at jeg foretar noen grove forutsetningen i linjene 3-5 som gjør at beviset ikke holder rent matematisk, og at man egentlig ikke kan gjøre det jeg gjør der.


Ser dere noe galt?

Takk for all hjelp.
Den er egentlig ikke noe feil før du mener at

[tex]\lim_{h\to 0} e^h = \lim_{h\to 0} h+ 1 \Rightarrow e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Hvordan kan du forklare denne implikasjonen? Man trenger ikke tenke langt for å komme på tilfeller der dette ikke gir et meningsfylt resultat.

Du går fra å se på likhet mellom to reelle verdier (grenseverdiene) til å mene at det er likhet mellom funksjonene.

Og til spørsmålet ditt om det har noe å si her. Vel - det du gjør er ikke gyldig argumentasjon, så selv om du tilfeldigvis får ut "det riktige svaret", så er beviset ditt galt.
FredrikM
Poincare
Poincare
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 20:39
Sted: Oslo
Kontakt:

[tex]e^x = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ 1 = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0} h+1 = \lim_{h\to 0} e^h \\ e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Bør ikke denne holde?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

FredrikM skrev:[tex]e^x = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ 1 = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \\ \lim_{h\to 0} h+1 = \lim_{h\to 0} e^h \\ e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}}[/tex]

Bør ikke denne holde?
Nei, som plutarco nevner må du føre epsilon delta bevis på denne her, for du gjør ulovlige operasjoner.
FredrikM
Poincare
Poincare
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 20:39
Sted: Oslo
Kontakt:

Er det dette punktet som ikke holder:
[tex]\lim_{h \to 0}h+1 = \lim_{h \to 0} e^h[/tex]

?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Les mitt innlegg.
Bogfjellmo
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 29/10-2007 22:02

FredrikM skrev:Er det dette punktet som ikke holder:
[tex]\lim_{h \to 0}h+1 = \lim_{h \to 0} e^h[/tex]

?
Det punktet sier at 1=1, så det er sant. Det følger også nesten av de foregående linjene. Det vil være sant om begge grenseverdiene eksisterer. Problemet er at neste linje ikke følger av dette. At grenseverdiene til to funksjoner er like, forteller svært lite om funksjonene, og du kan ikke anvende samme operasjon på begge funksjonene og generelt bevare likhet. En grenseverdi er bare ett tall. Husk det. Likhet mellom to grenseverdier er bare likhet mellom to tall.

Kan jo kjapt komme med et moteksempel:

[tex]\lim_{h\rightarrow 0} h = \lim_{h\rightarrow 0} 2h[/tex]
høyre- og venstresiden av likhetstegnet er begge lik null, og derfor like.
Kansellerer [tex]h[/tex] på begge sider av likhetstegnet, og sitter igjen med
[tex]1=2[/tex]
som ikke stemmer.

Det er noe tilsvarende du har gjort.

PS. (kanskje ikke så veldig meningsfylt for folk på vgs, skal se om jeg gidder forklare nærmere i morgen)
For enkelte operasjoner går det faktisk bra. Hvis
[tex]\lim_{x\to a} f(x) = L =\lim_{x\to a} g(x)[/tex]
og
[tex]F(x, y)[/tex] er kontinuerlig rundt [tex](a, L)[/tex]
så er
[tex]\lim_{x\to a} F(x, f(x)) = F(a, L) = \lim_{x\to a} F(x, g(x))[/tex]

Da [tex]F(x, y)[/tex] må gå mot [tex]F(a,L)[/tex] for alle veier mot [tex](a, L)[/tex]
Sist redigert av Bogfjellmo den 11/02-2009 22:32, redigert 1 gang totalt.
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Fin forklaring, Bogfjellmo. Skjønner nå hvorfor beviset ikke holder.

Takk for hjelpen alle sammen. :)
Svar