Formelt bevis for Greens teorem vha Stokes teorem
Lagt inn: 15/11-2008 14:07
I Kalkulus [Lindstrøm] er det en oppgave som ber deg om å bevise Greens teorem vha. Stokes teorem. Jeg er relativt uerfaren med korrekt bevisføring så jeg lurer litt på hvordan man viser dette formelt. Mitt uformelle bevis er som følger:
Vi har et vektorfelt [tex]\vec{F} =\left[P,Q,R \right][/tex] i et plan, slik at [tex]R = c[/tex],hvor c er en vilkårlig konstant. Vi regner først ut curlen til dette feltet:
[tex]\nabla \times \vec{F}= \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & c \end{matrix} \right| = (0-\frac {\partial}{\partial z} Q)\hat{i} - (0-\frac {\partial}{\partial z} P)\hat{j} + (\frac {\partial}{\partial x} Q-\frac {\partial}{\partial y} P)\hat{k}[/tex]
Vi antar så at flaten S er orientert på en slik måte at retningsvektoren [tex]\vec{n}[/tex] peker i positiv z-retning. Dermed vil prikk-produktet mellom curlen til [tex]\vec{F}[/tex] og retningsvektoren til S kun inneholde z-komponenten til [tex]curl(\vec{F})[/tex]. Fra dette følger det at:
[tex]\oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{T} ds = \int\int_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}dS = \int\int_{D} (\frac {\partial}{\partial x} Q-\frac {\partial}{\partial y} P) dA[/tex]
hvor D i prakis er samme flate som S. Vi har dermed bevist Greens teorem utifra Stokes teorem (under den forutsetning at denne holder).
Jeg er fult klar over at dette beviset er ganske tynt (kanskje også feil!?) så jeg lurer på om det er noen som vet hvordan dette gjøres mer formelt?
Vi har et vektorfelt [tex]\vec{F} =\left[P,Q,R \right][/tex] i et plan, slik at [tex]R = c[/tex],hvor c er en vilkårlig konstant. Vi regner først ut curlen til dette feltet:
[tex]\nabla \times \vec{F}= \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & c \end{matrix} \right| = (0-\frac {\partial}{\partial z} Q)\hat{i} - (0-\frac {\partial}{\partial z} P)\hat{j} + (\frac {\partial}{\partial x} Q-\frac {\partial}{\partial y} P)\hat{k}[/tex]
Vi antar så at flaten S er orientert på en slik måte at retningsvektoren [tex]\vec{n}[/tex] peker i positiv z-retning. Dermed vil prikk-produktet mellom curlen til [tex]\vec{F}[/tex] og retningsvektoren til S kun inneholde z-komponenten til [tex]curl(\vec{F})[/tex]. Fra dette følger det at:
[tex]\oint_{C} \vec{F} \cdot \vec{T} ds = \int\int_{S} (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n}dS = \int\int_{D} (\frac {\partial}{\partial x} Q-\frac {\partial}{\partial y} P) dA[/tex]
hvor D i prakis er samme flate som S. Vi har dermed bevist Greens teorem utifra Stokes teorem (under den forutsetning at denne holder).
Jeg er fult klar over at dette beviset er ganske tynt (kanskje også feil!?) så jeg lurer på om det er noen som vet hvordan dette gjøres mer formelt?