Cosinussetningen

[espen180]

Vi bruker en vilkårlig trekant ABC. Vi feller en normal fra C på linjen c med fotpunktet D, slik at trekanten deles opp i linjene a, b, c, d, e og f, slik tegningen under viser. Vi markerer også vinkelen [tex]\alpha[/tex].



Vi tar utgangspunkt i pythagorassetningen:

[tex]a^2=d^2+f^2[/tex]

Vi skal uttrykke dette ved a, b, c og [tex]\alpha[/tex].

[tex]c=e+f \\ f=c-e \\ e=b\cdot cos\,\alpha \\ f=c-b\cdot cos\,\alpha \\ f^2=c^2-2b\cdot c\cdot cos\,\alpha+b^2cos^2\alpha[/tex]

Vi definerer d ved å bruke pythagorassetningen.

[tex]d^2=b^2-e^2 \\ d^2=b^2-b^2cos^2\alpha[/tex]

Vi setter dette inn i det opprinnelige uttrykket.

[tex]a^2=d^2+f^2 \\ a^2=b^2-b^2cos^2\alpha+c^2-2b\cdot c\cdot cos\,\alpha+b^2cos^2\alpha \\ a^2=b^2-\cancel{b^2cos^2\alpha}+c^2-2b\cdot c\cdot cos\,\alpha+\cancel{b^2cos^2\alpha} \\ a^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cos\,\alpha[/tex]

Q.E.D.

[Bogfjellmo]

Korrekt, men dette beviset holder bare for [tex]\alpha < 90^\textdegree[/tex]. Tar du de to andre tilfellene også?

[espen180]

Joda, her er et bevis til. Jeg vet at dette gjelder for vinkler 90-180. Gjelder det for 0-90 også?

En trekant med linjene a, b og c, samt vinkel [tex]\gamma[/tex] som ligger motsatt av linjestykke c.



[tex]e=a\cdot cos(180-\gamma)=-a \cdot cos\,\gamma \\ d=\sqrt{a^2-a^2cos^2\gamma}=a\sqrt{-cos^2\gamma+1}=a\cdot sin\,\gamma \\ c=\sqrt{d^2+(e+b)^2}=\sqrt{a^2sin^2\gamma+a^2cos^2\gamma-2ab\cdot cos\,\gamma+b^2}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot cos\,\gamma}[/tex]

Vi har bevist at [tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\,\gamma[/tex] og dermed cosinussetningen.

[tex]a^2+b^2+c^2-2bc\cdot cos\,\alpha[/tex]

Q.E.D