Jeg har lyst til å se på bevis for :
[tex](\vec{u} + \vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})[/tex]
Det fins vel det? Hva er så den?
Vektorer i rommet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg tror ikke det finnes et bevis for det.
Det er en vanlig regneregel (også for vektorer) at [tex]\vec u + \vec v = \vec v + \vec u[/tex] og påstanden din følger da logisk etter det.
Det er en vanlig regneregel (også for vektorer) at [tex]\vec u + \vec v = \vec v + \vec u[/tex] og påstanden din følger da logisk etter det.
Tror ikke du kan få noe bevis for dette på samme måte som du ikke kan få noe bevis for at (a+b)+c=a+(b+c). Dette er et aksiom. Vi sier "eh, dette er da common sense" og tar det for god fisk. (Man kan selvfølgelig tenke seg systemer der (a+b)+c ikke er lik a+(b+c), men dette blir jo helt andre systemer.) Vi kan heller ikke vise at a+b=b+a, at a og b alltid kan sammenlignes (at a enten er større enn, mindre enn eller lik b) samt mye annet, men det virker så selvfølgelig at vi gjør det til aksiomer. Aksiomene kan vi så bruke til å utlede nye og spennende ting, og fungerer derfor som en 'grunnmur' for matematikken.
Aha,setter pris på svarene 
, men er det noen av disse da som kan bevises? ;
[tex]t \cdot(\vec {u} +\vec{v})=t \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}[/tex]
[tex]s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{u}=(s+t) \cdot \vec{u}[/tex]
[tex] s\cdot (t \vec{u})=(s \cdot t) \vec {u}[/tex]
, men er det noen av disse da som kan bevises? ;[tex]t \cdot(\vec {u} +\vec{v})=t \cdot \vec{u}+t \cdot \vec{v}[/tex]
[tex]s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{u}=(s+t) \cdot \vec{u}[/tex]
[tex] s\cdot (t \vec{u})=(s \cdot t) \vec {u}[/tex]
Regneregler for vektorer er de samme som for vanlige tall. Eksemplene under er også aksiomer og faktoriseringer.
Akkurat som at ab+cb=b(a+c), gjelder dette også for vektorer. Du kan enkelt vise dette for deg selv geometrisk ved å tegne opp vektorene på de to måtene og se at du får samme resultat.
Akkurat som at ab+cb=b(a+c), gjelder dette også for vektorer. Du kan enkelt vise dette for deg selv geometrisk ved å tegne opp vektorene på de to måtene og se at du får samme resultat.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Her er en liste over aksiomer, som gjelder vektorer. Disse kan, som Karl_Erik sa, ikke bevises, vi bare godtar at det er slik.
Regneregler for vektorer er de samme som for vanlige tall. Eksemplene under er også aksiomer og faktoriseringer.
Akkurat som at ab+cb=b(a+c), gjelder dette også for vektorer. Du kan enkelt vise dette for deg selv geometrisk ved å tegne opp vektorene på de to måtene og se at du får samme resultat.
Akkurat som at ab+cb=b(a+c), gjelder dette også for vektorer. Du kan enkelt vise dette for deg selv geometrisk ved å tegne opp vektorene på de to måtene og se at du får samme resultat.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Den egenskapen du ønsker å bevise kalles "assosiativitet". Når man snakker om et generelt vektorrom, så skal assosiativitet for vektoraddisjon alltid gjelde per definisjon.
Hvis du skal vise assosiativitet, så må du snakke om et bestemt vektorrom. Hvis du f.eks. snakker om vektorrommet R^3, altså vanlige vektorer i tre dimensjoner, så beviser man det slik: La v1 = [x1, y1, z1], v2 = [x2, y2, z2], v3 = [x3, y3, z3], vi har da:
(v1 + v2) + v3 = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2] + [x3, y3, z3] =
[(x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3, (z1 + z2) + z3] =
[x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3), z1 + (z2 + z3)] =
[x1, y1, z1] + [x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3] = v1 + (v2 + v3)
Her bruker jeg at vi vet at addisjon av reelle tall er assosiativ. Bevisene for de andre regnereglene for R^3 gjøres på liknende måte, dvs man bruker at man vet at egenskapen gjelder for reelle tall.
Hvis du skal vise assosiativitet, så må du snakke om et bestemt vektorrom. Hvis du f.eks. snakker om vektorrommet R^3, altså vanlige vektorer i tre dimensjoner, så beviser man det slik: La v1 = [x1, y1, z1], v2 = [x2, y2, z2], v3 = [x3, y3, z3], vi har da:
(v1 + v2) + v3 = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2] + [x3, y3, z3] =
[(x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3, (z1 + z2) + z3] =
[x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3), z1 + (z2 + z3)] =
[x1, y1, z1] + [x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3] = v1 + (v2 + v3)
Her bruker jeg at vi vet at addisjon av reelle tall er assosiativ. Bevisene for de andre regnereglene for R^3 gjøres på liknende måte, dvs man bruker at man vet at egenskapen gjelder for reelle tall.