Bevis av formel for Volum av kube og pyramide
Lagt inn: 27/06-2008 19:36
Jeg vil forsøke å bevise volumet av noen geometriske figurer. Først skal jeg bevise volumet av en terning, så bruke dette til å lage en formel for vilkårlige kuber. Etterpå har jeg forsøkt uten hell å bevise en formel for volumet av en pyramide.
Jeg begynner med å plassere en terning med sidelengde [tex]s[/tex] slik at et hjørne befinner seg i origo og hele terningen befinner seg i første oktant, se figur.
For å finne volumet vil jeg integrere den. da må jeg først integrere en av sidene, så integrere denne gjennom resten av terningen, slik:
Siden terningen går fra 0 to [tex]s[/tex] på x-aksen, y-aksen og z-aksen, blir integralet:
[tex]V=\int_0^s\int_0^s s \, \rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^s [sx]_0^s \rm{d}y \\ V=\int_0^s s^2 \, \rm{d}y=[s^2y]_0^s=s^3-0=\underline{\underline{s^3}}[/tex]
Vi har bevist formelen for volumet av en terning. Nå forsøker vi å generalisere litt mer. Vi lar en kube ha bredde [tex]x_k[/tex], lengde [tex]y_k[/tex] og høyde [tex]z_k[/tex]. Da får vi integralet:
[tex]V=\int_0^{y_k}\int_0^{x_k}z_k\,\rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k} [z_kx]_0^{x_k}\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k}z_kx_k\,\rm{d}y=[z_kz_ky]_0^{y_k}=x_ky_kz_k \\ \text{Vi setter inn for lengde, bredde og hoyde.} \\ V=l \cdot b \cdot h[/tex]
Vi har bevist formelen for volum av en kube.
Vennligst kommenter dette beviset. Er det riktig ført? Er notasjonen riktig, osv.
Vi går videre til å forsøke å bevise volumet for en pyramide med firkantet base. Jeg har tatt for meg en pyramide med "bein" som står 45 grader på horisontalplanet.
Først plasserer jeg pyramiden slik jeg plasserte kuben, se figur.
Å ta en vilkårlig snitt av denne pyramiden er litt mer komplisert en når man gjør det med en kube. Jeg har funnet de forskjellige lengdene i et snitt langs yz-planet når x har en vilkårlig verdi mellom 0 og 2h. Langdene til basen på pyramiden er 2h. Dette førlger naturlig av at beina til pyramiden står 45 grader på horisontalplanet.
Fra dette ser vi at arealet av et slikt vilkårlig snitt er gitt ved
[tex]A=x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}[/tex]
Vi lar dette snittet gå fra 0 til h og ganger med 2. Dette kan vi gjøre fordi pyramiden er symmetrisk med sentrum i x=h og y=h
[tex]2\cdot\left[x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}\right]_0^{h}=2h^2[/tex]
Her går det galt. Dette skulle ha blitt [tex]4h^2[/tex]. Da kunne jeg integrert mht. [tex]h[/tex] og fått [tex]\frac{4h^3}{3}[/tex]. Da kunne jeg ha satt inn for basen og høyden og kommet fram til formelen [tex]V=\frac13 g^2 h[/tex]. Kan noen hjelpe meg med dette? Har jeg gjort noe feil, hoppet over noe eller er helt helt på bærtur i hele beviset? Alle svar settes pris på.
Takk på forhånd.
Jeg begynner med å plassere en terning med sidelengde [tex]s[/tex] slik at et hjørne befinner seg i origo og hele terningen befinner seg i første oktant, se figur.
For å finne volumet vil jeg integrere den. da må jeg først integrere en av sidene, så integrere denne gjennom resten av terningen, slik:
Siden terningen går fra 0 to [tex]s[/tex] på x-aksen, y-aksen og z-aksen, blir integralet:
[tex]V=\int_0^s\int_0^s s \, \rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^s [sx]_0^s \rm{d}y \\ V=\int_0^s s^2 \, \rm{d}y=[s^2y]_0^s=s^3-0=\underline{\underline{s^3}}[/tex]
Vi har bevist formelen for volumet av en terning. Nå forsøker vi å generalisere litt mer. Vi lar en kube ha bredde [tex]x_k[/tex], lengde [tex]y_k[/tex] og høyde [tex]z_k[/tex]. Da får vi integralet:
[tex]V=\int_0^{y_k}\int_0^{x_k}z_k\,\rm{d}x\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k} [z_kx]_0^{x_k}\rm{d}y \\ V=\int_0^{y_k}z_kx_k\,\rm{d}y=[z_kz_ky]_0^{y_k}=x_ky_kz_k \\ \text{Vi setter inn for lengde, bredde og hoyde.} \\ V=l \cdot b \cdot h[/tex]
Vi har bevist formelen for volum av en kube.
Vennligst kommenter dette beviset. Er det riktig ført? Er notasjonen riktig, osv.
Vi går videre til å forsøke å bevise volumet for en pyramide med firkantet base. Jeg har tatt for meg en pyramide med "bein" som står 45 grader på horisontalplanet.
Først plasserer jeg pyramiden slik jeg plasserte kuben, se figur.
Å ta en vilkårlig snitt av denne pyramiden er litt mer komplisert en når man gjør det med en kube. Jeg har funnet de forskjellige lengdene i et snitt langs yz-planet når x har en vilkårlig verdi mellom 0 og 2h. Langdene til basen på pyramiden er 2h. Dette førlger naturlig av at beina til pyramiden står 45 grader på horisontalplanet.
Fra dette ser vi at arealet av et slikt vilkårlig snitt er gitt ved
[tex]A=x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}[/tex]
Vi lar dette snittet gå fra 0 til h og ganger med 2. Dette kan vi gjøre fordi pyramiden er symmetrisk med sentrum i x=h og y=h
[tex]2\cdot\left[x|2h-2x|+\frac{x\left(2h-|2h-2x|\right)}{2}\right]_0^{h}=2h^2[/tex]
Her går det galt. Dette skulle ha blitt [tex]4h^2[/tex]. Da kunne jeg integrert mht. [tex]h[/tex] og fått [tex]\frac{4h^3}{3}[/tex]. Da kunne jeg ha satt inn for basen og høyden og kommet fram til formelen [tex]V=\frac13 g^2 h[/tex]. Kan noen hjelpe meg med dette? Har jeg gjort noe feil, hoppet over noe eller er helt helt på bærtur i hele beviset? Alle svar settes pris på.
Takk på forhånd.
