Side 1 av 1
Trekant med hele sider og vinkler
Lagt inn: 05/04-2008 17:42
av espen180
Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.
Finnes det et bevis for/mot dette?
Lagt inn: 05/04-2008 18:02
av Charlatan
Mot:
En likesidet trekant med side 1.
Hvis du mener radianer så kan du jo prøve å bruke at sin(1), cos(1) og tan(1) ikke er heltall.
Lagt inn: 05/04-2008 18:11
av espen180
Enn virkårlige trekanter? Det ver mest det jeg siktet til.
Lagt inn: 05/04-2008 18:12
av Charlatan
Hva snakker du om?
Lagt inn: 05/04-2008 18:16
av espen180
Virkårlige trekanter: trekanter sor ikke faller under verken av kategoriene likesidet, rettvinklet eller likebeint.
Lagt inn: 05/04-2008 18:18
av Charlatan
Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.
En likesidet trekant med side 1 eksisterer. Teoremet er falskt.
Lagt inn: 05/04-2008 20:49
av =)
er det et teorem før man har bevist det uansett?
mener du i "vanlige (skole) gradevinkler" eller radianer?
Lagt inn: 05/04-2008 21:36
av espen180
Gradevinkler ja. Det var det jeg hadde i tankene.
Lagt inn: 05/04-2008 21:54
av =)
jeg trodde vilkårlig var fritt valgbart da?
Lagt inn: 24/05-2008 23:11
av Solar Plexsus
Espen 180 har rett i at det ikke finnes noen trekant som ikke er likesidet som har heltallige sider og vinkler (målt i grader).
Bevis: Anta at det finnes en slik trekant. Ettersom 1[tex]^{\circ}[/tex] tilsvarer [tex]\pi/180[/tex] radianer, må vinklene i trekanten være på formen [tex]n\pi/180[/tex], der [tex]n[/tex] er et naturlig tall.
Videre gir cosinussetningen at cosinus til alle tre vinklene i trekanten må være rasjonale tall ettersom trekantens sider er heltallige. Dessuten går det an å bevise at når både [tex]t[/tex] og [tex]cos(t\pi)[/tex] er rasjonale tall, må [tex]cos(t\pi) \in \{0, \, \pm1/2, \, \pm1\}.[/tex] Altså er en vinkel i denne trekanten enten 60[tex]^{\circ}[/tex], 90[tex]^{\circ}[/tex] eller 120[tex]^{\circ}[/tex]. Dette i kombinasjon med det faktum at vinkelsummen i en trekant er 180[tex]^{\circ}[/tex] impliserer at alle tre vinklene i trekanten er 60[tex]^{\circ}[/tex]. M.a.o. er trekanten likesidet. Denne motsigelsen fullfører beviset.